Representación conjunta

En matemáticas , la representación coadjunta de un grupo de Lie es el dual de la representación adjunta . Si denota el álgebra de Lie de , la acción correspondiente de on , el espacio dual a , se llama acción coadjunta . Una interpretación geométrica es como la acción por traslación a la izquierda en el espacio de formas 1 invariantes a la derecha en . ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle G}$

La importancia de la representación coadjunta fue enfatizada por el trabajo de Alexandre Kirillov , quien demostró que para los grupos de Lie nilpotentes un papel básico en su teoría de la representación lo juegan las órbitas coadjuntas . En el método de órbitas de Kirillov, las representaciones de se construyen geométricamente a partir de las órbitas coadjuntas. En cierto sentido, estos juegan un papel sustituto de las clases de conjugación de , lo que nuevamente puede ser complicado, mientras que las órbitas son relativamente manejables. ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$

Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie. Denotemos la representación adjunta de . Entonces la representación coadjunta se define por ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Anuncio}: G \ rightarrow \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}})}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Anuncio} ^ {*}: G \ rightarrow \ mathrm {Aut} ({\ mathfrak {g}} ^ {*})}$

donde denota el valor del funcional lineal en el vector . ${\ Displaystyle \ langle \ mu, Y \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle Y}$