En matemáticas , la representación adjunta (o acción adjunta ) de un grupo de Lie G es una forma de representar los elementos del grupo como transformaciones lineales del álgebra de Lie del grupo , considerada como un espacio vectorial . Por ejemplo, si G es, El grupo Lie de bienes n -by- n matrices invertibles , entonces la representación adjunta es el homomorfismo grupo que envía una invertible n -by- n matriz a un endomorfismo del espacio vectorial de todas las transformaciones lineales de definido por: .
Para cualquier grupo de Lie, esta representación natural se obtiene linealizando (es decir, tomando el diferencial de) la acción de G sobre sí mismo por conjugación . La representación adjunta se puede definir para grupos algebraicos lineales sobre campos arbitrarios .
Definición
Sea G un grupo de Lie , y sea
ser el mapeo g ↦ Ψ g , con Aut ( G ) el grupo de automorfismo de G y Ψ g : G → G dado por el automorfismo interno (conjugación)
Este Ψ es un homomorfismo de grupo de Lie .
Para cada g en G , defina Ad g como la derivada de Ψ g en el origen:
donde d es el diferencial yes el espacio tangente en el origen e ( siendo e el elemento de identidad del grupo G ). Desdees un automorfismo de grupo de Lie, Ad g es un automorfismo de álgebra de Lie; es decir, una transformación lineal invertible dea sí mismo que conserva el corchete de Lie . Además, dado que es un homomorfismo de grupo, también es un homomorfismo de grupo. [1] Por lo tanto, el mapa
es una representación de grupo llamado la representación adjunta de G .
Si G es un subgrupo de Lie inmerso del grupo lineal general (llamado grupo de Lie inmersivamente lineal), luego el álgebra de Lie consta de matrices y el mapa exponencial es la matriz exponencialpara matrices X con normas de operador pequeño. Por lo tanto, para g en G y una pequeña X en, tomando la derivada de en t = 0, se obtiene:
donde a la derecha tenemos los productos de matrices. Sies un subgrupo cerrado (es decir, G es un grupo de Lie de matriz), entonces esta fórmula es válida para todo g en G y todo X en.
Sucintamente, una representación adjunta es una representación isotropía asociada a la acción de la conjugación de G alrededor del elemento identidad de G .
Derivado de anuncio
Siempre se puede pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie tomando la derivada en la identidad.
Tomando la derivada del mapa adjunto
en el elemento de identidad da la representación adjunta del álgebra de Liede G :
dónde es el álgebra de Lie de que puede identificarse con el álgebra de derivación de. Uno puede demostrar que
para todos , donde el lado derecho viene dado (inducido) por el corchete de Lie de los campos vectoriales . De hecho, [2] recuerde que, al vercomo el álgebra de Lie de campos vectoriales invariantes a la izquierda en G , el corchete ense da como: [3] para campos vectoriales invariantes a la izquierda X , Y ,
dónde denota el flujo generado por X . Como resulta,, aproximadamente porque ambos lados satisfacen la misma EDO que define el flujo. Es decir, dónde denota la multiplicación correcta por . Por otro lado, desde, por la regla de la cadena ,
ya que Y es invariante a la izquierda. Por eso,
- ,
que es lo que se necesitaba mostrar.
Por lo tanto, coincide con el mismo definido en § Representación adjunta de un álgebra de Lie a continuación. El anuncio y el anuncio están relacionados a través del mapa exponencial : Específicamente, Ad exp ( x ) = exp (ad x ) para todo x en el álgebra de Lie. [4] Es una consecuencia del resultado general que relaciona los homomorfismos de grupos de Lie y álgebra de Lie a través del mapa exponencial. [5]
Si G es un grupo de Lie profundamente lineal, entonces el cálculo anterior se simplifica: de hecho, como se señaló anteriormente, y así con ,
- .
Tomando la derivada de esto en , tenemos:
- .
El caso general también se puede deducir del caso lineal: de hecho, supongamos ser un grupo Lie immersely lineal que tiene la misma álgebra de Lie que la de G . Entonces, la derivada de Ad en el elemento de identidad de G y la de G ' coinciden; por lo tanto, sin pérdida de generalidad, G puede ser asumido como G ' .
La notación de mayúsculas / minúsculas se utiliza ampliamente en la literatura. Así, por ejemplo, un vector x en el álgebragenera un campo vectorial X en el grupo G . De manera similar, el mapa adjunto ad x y = [ x , y ] de vectores enes homomórfico [se necesita aclaración ] a la derivada de Lie L X Y = [ X , Y ] de los campos vectoriales en el grupo G considerado como una variedad .
Vea además la derivada del mapa exponencial .
Representación adjunta de un álgebra de Lie
Dejar ser un álgebra de mentira sobre algún campo. Dado un elemento x de un álgebra de Lie, se define la acción adjunta de x en como el mapa
para todos y en. Se llama endomorfismo adjunto o acción adjunta . ( también se denota a menudo como .) Dado que un corchete es bilineal, esto determina el mapeo lineal
dado por x ↦ ad x . Dentro del final, el corchete es, por definición, dado por el conmutador de los dos operadores:
dónde denota la composición de mapas lineales. Usando la definición anterior del corchete, la identidad de Jacobi
toma la forma
donde x , y y z son elementos arbitrarios de.
Esta última identidad dice que ad es un homomorfismo de álgebra de Lie; es decir, un mapeo lineal que lleva corchetes a corchetes. Por lo tanto, ad es una representación de un álgebra de Lie y se denomina representación adjunta del álgebra..
Si es de dimensión finita, luego End es isomorfo a , el álgebra de Lie del grupo lineal general del espacio vectorialy si se elige una base para ello, la composición corresponde a la multiplicación de matrices .
En un lenguaje más teórico de módulos, la construcción dice que es un módulo sobre sí mismo.
El núcleo del anuncio es el centro de(eso es solo reformular la definición). Por otro lado, para cada elemento z en, el mapeo lineal obedece la ley de Leibniz :
para todos los x y y en el álgebra (la reexpresión de la identidad de Jacobi). Es decir, ad z es una derivación y la imagen de debajo de ad es una subálgebra de Der, el espacio de todas las derivaciones de .
Cuándo es el álgebra de Lie de un grupo de Lie G , ad es el diferencial de Ad en el elemento identidad de G (ver #Derivative de Ad arriba).
Existe la siguiente fórmula similar a la fórmula de Leibniz : para escalares y elementos de álgebra de mentira ,
- .
Constantes de estructura
Los elementos explícitos de la matriz de la representación adjunta están dados por las constantes de estructura del álgebra. Es decir, sea {e i } un conjunto de vectores base para el álgebra, con
Entonces los elementos de la matriz para ad e i vienen dados por
Así, por ejemplo, la representación adjunta de su (2) es la representación definitoria de so (3) .
Ejemplos de
- Si G es abeliano de dimensión n , la representación adjunta de G es la representación n- dimensional trivial .
- Si G es un grupo de Lie matricial (es decir, un subgrupo cerrado de GL ( n , ℂ)), entonces su álgebra de Lie es un álgebra de n × n matrices con el conmutador para un corchete de Lie (es decir, una subálgebra de). En este caso, el mapa adjunto viene dado por Ad g ( x ) = gxg −1 .
- Si G es SL (2, R ) (matrices reales 2 × 2 con determinante 1), el álgebra de Lie de G consta de matrices reales 2 × 2 con traza 0. La representación es equivalente a la dada por la acción de G por lineal sustitución en el espacio de formas cuadráticas binarias (es decir, 2 variables) .
Propiedades
La siguiente tabla resume las propiedades de los distintos mapas mencionados en la definición.
Homomorfismo de grupo de mentiras: | Automorfismo de grupo de mentiras: |
Homomorfismo de grupo de mentiras: | Automorfismo del álgebra de mentiras:
|
Homomorfismo del álgebra de mentira:
| Derivación del álgebra de mentira:
|
La imagen de G debajo de la representación adjunta se denota con Ad ( G ). Si G es conectado , el núcleo de los coincide representación adjunta con el kernel de Ψ que es sólo el centro de G . Por lo tanto, la representación adjunta de un grupo de Lie conectado G es fiel si y solo si G no tiene centros. Más en general, si G no está conectado, entonces el núcleo del mapa adjunto es el centralizador de la componente de identidad G 0 de G . Por el primer teorema del isomorfismo tenemos
Dado un álgebra de Lie real de dimensión finita , según el tercer teorema de Lie , hay un grupo de Lie conectado cuya álgebra de Lie es la imagen de la representación adjunta de (es decir, .) Se llama grupo adjunto de.
Ahora si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie conectado G , entonceses la imagen de la representación adjunta de G :.
Raíces de un grupo de Lie semisimple
Si G es semisimple , los pesos distintos de cero de la representación adjunta forman un sistema de raíces . [6] (En general, es necesario pasar a la complejidad del álgebra de Lie antes de continuar.) Para ver cómo funciona esto, considere el caso G = SL ( n , R ). Podemos tomar el grupo de matrices diagonales diag ( t 1 , ..., t n ) como nuestra máxima toroide T . Conjugación por un elemento de T envía
Por lo tanto, T actúa trivialmente en la parte diagonal del álgebra de Lie de G y con vectores propios t i t j −1 en las diversas entradas fuera de la diagonal. Las raíces de G son los pesos diag ( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1 . Esto explica la descripción estándar del sistema de raíces de G = SL n ( R ) como el conjunto de vectores de la forma e i - e j .
Ejemplo SL (2, R)
Al calcular el sistema de raíces para uno de los casos más simples de Grupos de Lie, el grupo SL (2, R ) de matrices bidimensionales con determinante 1 consiste en el conjunto de matrices de la forma:
con a , b , c , d real y ad - bc = 1.
Un subgrupo de Lie abeliano conectado máximo compacto, o toro máximo T , viene dado por el subconjunto de todas las matrices de la forma
con . El álgebra de Lie del toro máximo es la subálgebra de Cartan que consta de las matrices
Si conjugamos un elemento de SL (2, R ) con un elemento del toro máximo obtenemos
Las matrices
son entonces 'autovectores' de la operación de conjugación con autovalores . La función Λ que da es un carácter multiplicativo u homomorfismo del toro del grupo al campo subyacente R. La función λ que da θ es un peso del Álgebra de Lie con espacio de peso dado por el intervalo de las matrices.
Es satisfactorio mostrar la multiplicatividad del personaje y la linealidad del peso. Además, se puede demostrar que el diferencial de Λ se puede utilizar para crear un peso. También es educativo considerar el caso de SL (3, R ).
Variantes y análogos
La representación adjunta también se puede definir para grupos algebraicos en cualquier campo. [ aclaración necesaria ]
La representación coadjunta es la representación contradictoria de la representación adjunta. Alexandre Kirillov observó que la órbita de cualquier vector en una representación coadjunta es una variedad simpléctica . De acuerdo con la filosofía de la teoría de la representación conocida como el método de la órbita (ver también la fórmula del carácter de Kirillov ), las representaciones irreductibles de un grupo G de Lie deberían estar indexadas de alguna manera por sus órbitas coadjuntas. Esta relación es más cercana en el caso de grupos de Lie nilpotentes .
Notas
- ^ De hecho, por la regla de la cadena ,
- ^ Kobayashi y Nomizu 1996 , página 41
- ^ Kobayashi y Nomizu 1996 , Proposición 1.9.
- ^ Salón 2015 Proposición 3.35
- ^ Teorema 3.28 de Hall 2015
- ^ Salón 2015 Sección 7.3
Referencias
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 (Nueva ed.). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.