En matemáticas , un esquema de módulos es un espacio de módulos que existe en la categoría de esquemas desarrollados por Alexander Grothendieck . Algunos problemas de módulos importantes de la geometría algebraica pueden resolverse satisfactoriamente solo mediante la teoría de esquemas , mientras que otros requieren alguna extensión del concepto de 'objeto geométrico' ( espacios algebraicos , pilas algebraicas de Michael Artin ).
El trabajo de Grothendieck y David Mumford (ver teoría de la invariante geométrica ) abrió esta área a principios de la década de 1960. El enfoque más algebraico y abstracto de los problemas de módulos es establecerlos como una pregunta de funtor representable y luego aplicar un criterio que identifique los funtores representables para los esquemas. Cuando este enfoque programático funciona, el resultado es un esquema de módulos finos . Bajo la influencia de ideas más geométricas, basta encontrar un esquema que proporcione los puntos geométricos correctos . Esto se parece más a la idea clásica de que el problema de los módulos es expresar la estructura algebraica que viene naturalmente con un conjunto (digamos de clases de isomorfismo de curvas elípticas).
El resultado es entonces un esquema de módulos gruesos . Su falta de refinamiento es, en términos generales, que no garantiza para las familias de objetos lo que es inherente al esquema de módulos finos. Como señaló Mumford en su libro Teoría geométrica invariante , uno podría querer tener la versión fina, pero hay un problema técnico ( estructura de niveles y otras 'marcas') que debe abordarse para obtener una pregunta con la posibilidad de tener tal. respuesta.
Teruhisa Matsusaka demostró un resultado, ahora conocido como el gran teorema de Matsusaka , que establece una condición necesaria en un problema de módulos para la existencia de un esquema de módulos gruesos. [1]
Mumford demostró que si g > 1, existe un esquema de módulos gruesos de curvas suaves de género g , que es cuasi-proyectivo . [2] Según una encuesta reciente de János Kollár , "tiene una geometría intrínseca rica e intrigante que está relacionada con preguntas importantes en muchas ramas de las matemáticas y la física teórica". [3] Braungardt ha planteado la cuestión de si el teorema de Belyi se puede generalizar a variedades de mayor dimensión sobre el campo de los números algebraicos , con la formulación de que generalmente son birracionales a un étale finito que cubre un espacio de módulos de curvas. [4]
Usando la noción de paquete vectorial estable , se ha demostrado que existen esquemas de módulos gruesos para los paquetes vectoriales en cualquier variedad compleja suave, y que son cuasi-proyectivos: la declaración usa el concepto de semiestabilidad . [5] Es posible identificar el espacio de módulos gruesos de paquetes especiales de instantones , en física matemática, con objetos en la geometría clásica de cónicas, en ciertos casos. [6]