En geometría algebraica , una estructura de nivel en un espacio X es una estructura adicional unida a X que encoge o elimina el grupo de automorfismos de X , exigiendo automorfismos para preservar la estructura de niveles; unir una estructura de nivel es a menudo su enunciado como rigidez de la geometría de X . [1] [2]
En aplicaciones, una estructura de nivel se utiliza en la construcción de espacios de módulos ; un espacio de módulos a menudo se construye como un cociente. La presencia de automorfismos plantea una dificultad para formar un cociente ; así, la introducción de estructuras de niveles ayuda a superar esta dificultad.
No existe una definición única de estructura de niveles; más bien, dependiendo del espacio X , se introduce la noción de estructura de niveles. El clásico es el de una curva elíptica (ver #Ejemplo: un esquema abeliano ). Existe una estructura de niveles adjunta a un grupo formal llamado estructura de niveles de Drinfeld , introducida en ( Drinfeld 1974 ). [3]
Estructuras de nivel en curvas elípticas
Clásicamente, estructuras niveladas en curvas elípticas están dadas por una celosía que contiene la celosía definitoria de la variedad. A partir de la teoría de módulos de curvas elípticas, todas estas celosías pueden describirse como la celosía por en el semiplano superior. Entonces, la celosía generada por da una celosía que contiene todo -puntos de torsión en la curva elíptica denotados . De hecho, dado que tal celosía es invariante bajo el acción en , dónde
por lo tanto, da un punto en [4] denominado espacio de módulos de estructuras de nivel N de curvas elípticas, que es una curva modular . De hecho, este espacio de módulos contiene un poco más de información: el emparejamiento de Weil
da un punto en el -th raíces de la unidad, por lo tanto en .
Ejemplo: un esquema abeliano
Dejar ser un esquema abeliano cuyas fibras geométricas tienen dimensión g .
Deje que n sea un número entero positivo que es primo al campo residuo de cada s en S . Para n ≥ 2, una estructura de nivel n es un conjunto de seccionestal que [5]
- para cada punto geométrico , forman una base para el grupo de puntos de orden n en,
- es la sección de identidad, donde es la multiplicación por n .
Ver también: curva modular # Ejemplos , pila de módulos de curvas elípticas .
Ver también
Notas
- ^ Mumford, Fogarty y Kirwan 1994 , Cap. 7.
- ^ Katz y Mazur 1985 , Introducción
- ^ Deligne, P .; Husemöller, D. (1987). "Estudio de los módulos de Drinfeld" (PDF) . Desprecio. Matemáticas . 67 (1): 25–91. doi : 10.1090 / conm / 067/902591 .
- ^ Silverman, Joseph H., 1955- (2009). La aritmética de curvas elípticas (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 439–445. ISBN 978-0-387-09494-6. OCLC 405546184 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Mumford, Fogarty y Kirwan 1994 , definición 7.1.
Referencias
- Drinfeld, V. (1974). "Módulos elípticos". Matemáticas URSS Sbornik . 23 (4): 561–592. Código Bib : 1974SbMat..23..561D . doi : 10.1070 / sm1974v023n04abeh001731 .
- Katz, Nicholas M .; Mazur, Barry (1985). Módulos aritméticos de curvas elípticas . Prensa de la Universidad de Princeton . ISBN 0-691-08352-5.
- Harris, Michael; Taylor, Richard (2001). La geometría y cohomología de algunas variedades simples de Shimura . Anales de estudios matemáticos. 151 . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-1-4008-3720-5.
- Mumford, David ; Fogarty, J .; Kirwan, F. (1994). Teoría geométrica invariante . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)]. 34 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. Señor 1304906 .
Otras lecturas
- Notas sobre paquetes principales
- J. Lurie, Estructuras de nivel en curvas elípticas.