Una ecuación en diferencias matriciales es una ecuación en diferencias en la que el valor de un vector (o, a veces, una matriz) de variables en un punto en el tiempo se relaciona con su propio valor en uno o más puntos anteriores en el tiempo, utilizando matrices . [1] [2] El orden de la ecuación es el intervalo de tiempo máximo entre dos valores indicados del vector variable. Por ejemplo,
es un ejemplo de una ecuación en diferencias matriciales de segundo orden, en la que x es un vector de variables n × 1 y A y B son matrices n × n . Esta ecuación es homogénea porque no se agrega un término constante vectorial al final de la ecuación. La misma ecuación también podría escribirse como
o como
Las ecuaciones en diferencias matriciales que se encuentran con más frecuencia son de primer orden.
Caso de primer orden no homogéneo y estado estacionario
Un ejemplo de una ecuación en diferencias matriciales de primer orden no homogénea es
con vector constante aditivo b . El estado estacionario de este sistema es un valor x * del vector x que, si se alcanza, no se desviaría posteriormente. x * se encuentra estableciendo x t = x t −1 = x * en la ecuación de diferencias y despejando x * para obtener
donde I es la matriz identidad n × n , y donde se supone que [ I - A ] es invertible . Entonces, la ecuación no homogénea se puede reescribir en forma homogénea en términos de desviaciones del estado estacionario:
Estabilidad del caso de primer orden
La ecuación de diferencias matriciales de primer orden [ x t - x *] = A [ x t −1 - x *] es estable , es decir, x t converge asintóticamente al estado estacionario x *, si y solo si todos los valores propios de la La matriz de transición A (ya sea real o compleja) tiene un valor absoluto que es menor que 1.
Solución del caso de primer orden
Suponga que la ecuación se ha puesto en la forma homogénea y t = Ay t −1 . Luego podemos iterar y sustituir repetidamente a partir de la condición inicial y 0 , que es el valor inicial del vector y y que debe conocerse para encontrar la solución:
y así sucesivamente, de modo que por inducción matemática la solución en términos de t es
Además, si A es diagonalizable, podemos reescribir A en términos de sus autovalores y autovectores , dando la solución como
donde P es un n × n matriz cuyas columnas son los vectores propios de A (suponiendo que los valores propios son todos distintos) y D es un n × n matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A . Esta solución motiva el resultado de estabilidad anterior: A t se reduce a la matriz cero con el tiempo si y solo si los valores propios de A son todos menores que la unidad en valor absoluto.
Extraer la dinámica de una única variable escalar de un sistema matricial de primer orden
Partiendo del sistema n- dimensional y t = Ay t −1 , podemos extraer la dinámica de una de las variables de estado, digamos y 1 . La ecuación de solución anteriormente para Y t muestra que la solución para y 1, t es en términos de los n valores propios de A . Por lo tanto, la ecuación que describe la evolución de y 1 por sí misma debe tener una solución que involucre esos mismos valores propios. Esta descripción motiva intuitivamente la ecuación de evolución de y 1 , que es
donde los parámetros a i son de la ecuación característica de la matriz A :
Así, cada variable escalar individual de un sistema lineal de primer orden n- dimensional evoluciona de acuerdo con una ecuación de diferencia de n -ésimo grado univariante , que tiene la misma propiedad de estabilidad (estable o inestable) que la ecuación de diferencia de matriz.
Solución y estabilidad de casos de orden superior
Las ecuaciones matriciales en diferencias de orden superior, es decir, con un desfase de tiempo superior a un período, se pueden resolver y analizar su estabilidad convirtiéndolas en forma de primer orden utilizando una matriz de bloques (matriz de matrices). Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuación de segundo orden
con el vector variable de x siendo n × 1 y A y B siendo n × n . Esto se puede apilar en el formulario
donde I es la matriz identidad n × n y 0 es la matriz n × n cero . Luego, al denotar el vector apilado de 2 n × 1 de las variables actuales y una vez rezagadas como z t y la matriz de bloques de 2 n × 2 n como L , tenemos como antes de la solución
También como antes, esta ecuación apilada, y por lo tanto la ecuación original de segundo orden, son estables si y solo si todos los valores propios de la matriz L son menores que la unidad en valor absoluto.
Ecuaciones en diferencias matriciales no lineales: ecuaciones de Riccati
En control lineal cuadrático gaussiano , surge una ecuación matricial no lineal para la evolución inversa de a-y-futuro costo actual matriz , indicada a continuación como H . Esta ecuación se denomina ecuación de Riccati dinámica discreta y surge cuando un vector variable que evoluciona de acuerdo con una ecuación de diferencia de matriz lineal se controla manipulando un vector exógeno para optimizar una función de costo cuadrática . Esta ecuación de Riccati asume la siguiente forma, o una similar:
donde H , K y A son n × n , C es n × k , R es k × k , n es el número de elementos del vector a controlar y k es el número de elementos del vector de control. Las matrices de parámetros A y C son de la ecuación lineal, y las matrices de parámetros K y R son de la función de costo cuadrático. Consulte aquí para obtener más detalles.
En general, esta ecuación no se puede resolver analíticamente para H t en términos de t ; más bien, la secuencia de valores para H t se encuentra iterando la ecuación de Riccati. Sin embargo, se ha demostrado [3] que esta ecuación Riccati se puede solucionar analíticamente si R = 0 y n = k + 1 , reduciéndola a un escalar ecuación de diferencia racional ; Además, para cualquier k y n si la matriz de transición A es no singular entonces la ecuación de Riccati se puede solucionar analíticamente en términos de los valores propios de una matriz, aunque éstos pueden necesitar ser encontrado numéricamente. [4]
En la mayoría de los contextos, la evolución de H hacia atrás a través del tiempo es estable, lo que significa que H converge a una matriz fija particular H *, lo que puede ser irracional incluso si todas las demás matrices son racionales. Ver también Control estocástico § Tiempo discreto .
Una ecuación de Riccati relacionada [5] es
en el que las matrices X , A , B , C y E son todas n × n . Esta ecuación se puede resolver explícitamente. Suponga que X t = N t D−1
t, Que sin duda mantiene para t = 0 con N 0 = X 0 y con D 0 = I . Luego, usando esto en la ecuación de diferencias, se obtiene
entonces por inducción la forma X t = N t D−1
tse mantiene para todos los t . Entonces la evolución de N y D se puede escribir como
Así por inducción
Ver también
Referencias
- ^ Cull, Paul; Flahive, Mary ; Robson, Robbie (2005). Ecuaciones en diferencias: de conejos al caos . Saltador. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
- ^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de la economía matemática (3ª ed.). McGraw-Hill. págs. 608–612 .
- ^ Balvers, Ronald J .; Mitchell, Douglas W. (2007). "Reducción de la dimensionalidad de los problemas de control cuadrático lineal" (PDF) . Revista de Control y Dinámica Económica . 31 (1): 141-159. doi : 10.1016 / j.jedc.2005.09.013 .
- ^ Vaughan, DR (1970). "Una solución algebraica no recursiva para la ecuación discreta de Riccati". Transacciones IEEE sobre control automático . 15 (5): 597–599. doi : 10.1109 / TAC.1970.1099549 .
- ^ Martin, CF; Ammar, G. (1991). "La geometría de la ecuación matricial de Riccati y el método de valor propio asociado". En Bittani; Laub; Willems (eds.). La ecuación de Riccati . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-58223-3_5 . ISBN 978-3-642-63508-3.