En álgebra lineal , la expansión de Laplace , llamada así por Pierre-Simon Laplace , también llamada expansión de cofactor , es una expresión del determinante de una matriz B de n × n como una suma ponderada de menores , que son los determinantes de algunos ( n - 1 ) x ( n - 1) submatrices de B . Específicamente, para cada i ,
dónde es la entrada de la i- ésima fila y la j- ésima columna de B , y es el determinante de la submatriz obtenido por eliminación de la i ª fila y la j ésima columna de B . El termino se llama el cofactor deen B .
La expansión de Laplace es a menudo útil en demostraciones, como, por ejemplo, al permitir la recursividad en el tamaño de matrices. También es de interés didáctico por su simplicidad y como una de las varias formas de ver y calcular el determinante. Para matrices grandes, rápidamente se vuelve ineficiente de calcular, en comparación con la eliminación gaussiana .
Considere la matriz
El determinante de esta matriz se puede calcular utilizando la expansión de Laplace a lo largo de cualquiera de sus filas o columnas. Por ejemplo, una expansión a lo largo de la primera fila produce:
La expansión de Laplace a lo largo de la segunda columna produce el mismo resultado:
Es fácil verificar que el resultado es correcto: la matriz es singular porque la suma de su primera y tercera columna es el doble de la segunda columna y, por lo tanto, su determinante es cero.
Suponer es una matriz n × n y Para mayor claridad, también etiquetamos las entradas de que componen su matriz menor como
por
Considere los términos en la expansión de eso tiene como factor. Cada uno tiene la forma
para alguna permutación τ ∈ S n con, y una permutación única y evidentemente relacionada que selecciona las mismas entradas menores que τ . De manera similar, cada elección de σ determina un τ correspondiente, es decir, la correspondenciaes una biyección entre y La relación explícita entre y Se puede escribir como
dónde es una notación abreviada temporal para un ciclo . Esta operación disminuye todos los índices mayores que j para que cada índice quepa en el conjunto {1,2, ..., n-1}
La permutación τ puede derivarse de σ como sigue. Definir por por y . Luego se expresa como
Ahora, la operación que se aplica primero y luego aplicar es (Observe que aplicar A antes de B es equivalente a aplicar la inversa de A a la fila superior de B en la notación de dos líneas de Cauchy )
dónde es una notación abreviada temporal para .
la operación que se aplica primero y luego aplicar es
por encima de dos son iguales así,
dónde es el inverso de cual es .
Por lo tanto
Dado que los dos ciclos se pueden escribir respectivamente como y transposiciones ,
Y como el mapa es biyectiva,
de donde se sigue el resultado. De manera similar, el resultado se mantiene si el índice de la suma externa se reemplazó con.
La expansión del cofactor de Laplaces se puede generalizar de la siguiente manera.
Ejemplo
Considere la matriz
El determinante de esta matriz se puede calcular utilizando la expansión del cofactor de Laplace a lo largo de las dos primeras filas de la siguiente manera. En primer lugar, tenga en cuenta que hay 6 conjuntos de dos números distintos en {1, 2, 3, 4}, es decir , deje Ser el conjunto mencionado anteriormente.
Al definir los cofactores complementarios a ser
y el signo de su permutación para ser
El determinante de A se puede escribir como
dónde es el conjunto complementario de .
En nuestro ejemplo explícito, esto nos da
Como se indicó anteriormente, es fácil verificar que el resultado sea correcto: la matriz es singular porque la suma de su primera y tercera columna es el doble de la segunda columna y, por lo tanto, su determinante es cero.
Declaración general
Dejar ser una matriz n × n yel conjunto de subconjuntos de elementos k de {1, 2, ..., n } ,un elemento en él. Entonces el determinante dese puede expandir a lo largo de las k filas identificadas por como sigue:
dónde es el signo de la permutación determinada por y , igual a , el cuadrado menor de obtenido eliminando de filas y columnas con índices en y respectivamente, y (llamado el complemento de ) definido para ser , y siendo el complemento de y respectivamente.
Esto coincide con el teorema anterior cuando . Lo mismo se aplica a las k columnas fijas .
La expansión de Laplace es computacionalmente ineficiente para matrices de alta dimensión, con una complejidad de tiempo en notación O grande de O ( n !) . Alternativamente, el uso de una descomposición en matrices triangulares como en la descomposición LU puede producir determinantes con una complejidad temporal de O ( n 3 ) . [1] El siguiente código de Python implementa la expansión de Laplace de forma recursiva [ cita requerida ] :
def determinante ( M ): # Caso base de la función recursiva: matriz 1x1 si len ( M ) == 1 : return M [ 0 ] [ 0 ] total = 0 para columna , elemento en enumerar ( M [ 0 ]): # Excluir la primera fila y la columna actual. K = [ x [: columna ] + x [ columna + 1 :] para x en M [ 1 :]] s = 1 si columna % 2 == 0 más - 1 total + = s * elemento * determinante ( K ) return total