En álgebra lineal , un menor de una matriz A es el determinante de alguna matriz cuadrada más pequeña , cortada de A eliminando una o más de sus filas y columnas. Los menores obtenidos al eliminar solo una fila y una columna de las matrices cuadradas ( primeros menores ) son necesarios para calcular los cofactores de la matriz , que a su vez son útiles para calcular tanto el determinante como el inverso de matrices cuadradas.
Definición e ilustración
Primeros menores
Si A es una matriz cuadrada, entonces la menor de la entrada en la i- ésima fila y la j- ésima columna (también llamada ( i , j ) menor , o una primera menor [1] ) es el determinante de la submatriz formada al eliminar la i- ésima fila y la j- ésima columna. Este número a menudo se denota M i, j . El cofactor ( i , j ) se obtiene multiplicando el menor por.
Para ilustrar estas definiciones, considere la siguiente matriz de 3 por 3,
Para calcular el menor M 2,3 y el cofactor C 2,3 , encontramos el determinante de la matriz anterior con la fila 2 y la columna 3 eliminadas.
Entonces el cofactor de la entrada (2,3) es
Definición general
Sea A una matriz de m × n yk un número entero con 0 < k ≤ m , y k ≤ n . Un k × k menor de A , también llamado determinante menor de orden k de A o, si m = n , ( n - k ) ésimo determinante menor de A (la palabra "determinante" a menudo se omite y la palabra "grado" a veces se usa en lugar de "orden") es el determinante de una matriz k × k obtenida de A al eliminar m - k filas y n - k columnas. A veces, el término se usa para referirse a la matriz k × k obtenida de A como se indicó anteriormente (eliminando m - k filas y n - k columnas), pero esta matriz debe denominarse una submatriz (cuadrada) de A , dejando el término "menor" para referirse al determinante de esta matriz. Para una matriz A como la anterior, hay un total demenores de talla k × k . El menor de orden cero a menudo se define como 1. Para una matriz cuadrada, el menor cero es solo el determinante de la matriz. [2] [3]
Dejar y Ser secuencias ordenadas (en orden natural, como siempre se asume cuando se habla de menores a menos que se indique lo contrario) de índices, llámalos I y J , respectivamente. El menor correspondiente a estas elecciones de índices se denota o o o o o (donde el denota la secuencia de índices I , etc.), dependiendo de la fuente. Además, existen dos tipos de denotaciones en uso en la literatura: por el menor asociado a secuencias ordenadas de índices I y J , algunos autores [4] se refieren al determinante de la matriz que se forma como arriba, tomando los elementos del original. matriz de las filas cuyos índices están en I y columnas cuyos índices están en J , mientras que algunos otros autores entienden por un menor asociado a I y J el determinante de la matriz formada a partir de la matriz original al eliminar las filas en I y las columnas en J . [2] La notación que se utiliza siempre debe comprobarse en la fuente en cuestión. En este artículo, utilizamos una definición inclusiva de la elección de los elementos de las filas de I y columnas de J . El caso excepcional es el caso del primer menor o del ( i , j ) -minor descrito anteriormente; en ese caso, el significado exclusivo es estándar en todas partes de la literatura y también se utiliza en este artículo.
Complemento
El complemento, B ijk ..., pqr ... , de un menor, M ijk ..., pqr ... , de una matriz cuadrada, A , está formado por el determinante de la matriz A a partir de la cual todas las filas ( ijk ... ) y las columnas ( pqr ... ) asociadas con M ijk ..., pqr ... se han eliminado. El complemento del primer menor de un elemento a ij es simplemente ese elemento. [5]
Aplicaciones de menores y cofactores
Expansión cofactor del determinante
Los cofactores ocupan un lugar destacado en la fórmula de Laplace para la expansión de determinantes, que es un método para calcular determinantes más grandes en términos de determinantes más pequeños. Dada una matriz n × n, el determinante de A , denotado det ( A ), se puede escribir como la suma de los cofactores de cualquier fila o columna de la matriz multiplicada por las entradas que los generaron. En otras palabras, definirentonces la expansión del cofactor a lo largo de la j- ésima columna da:
La expansión del cofactor a lo largo de la i- ésima fila da:
Inversa de una matriz
Se puede escribir la inversa de una matriz invertible calculando sus cofactores usando la regla de Cramer , como sigue. La matriz formada por todos los cofactores de una matriz cuadrada A se llama matriz de cofactores (también llamada matriz de cofactores o, a veces, comatriz ):
Entonces, la inversa de A es la transpuesta de la matriz del cofactor multiplicada por la recíproca del determinante de A :
La transposición de la matriz cofactor se llama el adjugate matriz (también llamado el adjunto clásica ) de A .
La fórmula anterior se puede generalizar de la siguiente manera: Sea y ser secuencias ordenadas (en orden natural) de índices (aquí A es una matriz n × n ). Entonces [6]
donde I ′ , J ′ denotan las secuencias ordenadas de índices (los índices están en orden natural de magnitud, como arriba) complementarios a I , J , de modo que cada índice 1, ..., n aparece exactamente una vez en I o I ′ , Pero no en ambos (de manera similar para J y J ′ ) ydenota el determinante de la submatriz de A formado por la elección de las filas del índice de conjuntos I y columnas de conjunto de índices J . También,. Se puede dar una prueba simple usando un producto en forma de cuña. En efecto,
dónde son los vectores base. Actuando por A en ambos lados, se obtiene
El letrero puede calcularse para ser , Por lo que la señal está determinada por las sumas de los elementos en I y J .
Otras aplicaciones
Dada una matriz m × n con entradas reales (o entradas de cualquier otro campo ) y rango r , entonces existe al menos un menor r × r distinto de cero , mientras que todos los menores mayores son cero.
Usaremos la siguiente notación para menores: si A es una matriz m × n , I es un subconjunto de {1, ..., m } con k elementos, y J es un subconjunto de {1, ..., n } con k elementos, entonces escribimos [ a ] I , J para la k × k menor de a que corresponde a las filas con índice en I y las columnas con índice en J .
- Si I = J , entonces [ A ] I , J se llama menor principal .
- Si la matriz que corresponde a un menor principal es una parte superior izquierda cuadrática de la matriz más grande (es decir, consta de elementos de la matriz en filas y columnas de 1 a k ), entonces el menor principal se denomina menor principal principal (de orden k) o esquina (principal) menor (de orden k) . [3] Para una matriz cuadrada de n × n , hay n principales menores principales.
- Un menor básico de una matriz es el determinante de una submatriz cuadrada que es de tamaño máximo con un determinante distinto de cero. [3]
- Para las matrices hermitianas , los principales menores principales se pueden usar para probar la definición positiva y los principales menores se pueden usar para probar la semidefinidad positiva . Consulte el criterio de Sylvester para obtener más detalles.
Tanto la fórmula para la multiplicación de matrices ordinaria como la fórmula de Cauchy-Binet para el determinante del producto de dos matrices son casos especiales del siguiente enunciado general sobre los menores de un producto de dos matrices. Suponga que A es una matriz m × n , B es una matriz n × p , I es un subconjunto de {1, ..., m } con k elementos y J es un subconjunto de {1, ..., p } con k elementos. Luego
donde la suma se extiende a todos los subconjuntos K de {1, ..., n } con k elementos. Esta fórmula es una sencilla extensión de la fórmula de Cauchy-Binet.
Enfoque de álgebra multilineal
Un tratamiento algebraico más sistemático de los menores se da en álgebra multilineal , usando el producto de la cuña : los k- menores de una matriz son las entradas en el k- ésimo mapa de potencia exterior .
Si las columnas de una matriz están encajadas k a la vez, los k × k menores aparecen como los componentes de los k -vectores resultantes . Por ejemplo, los 2 × 2 menores de la matriz
son −13 (de las dos primeras filas), −7 (de la primera y última fila) y 5 (de las dos últimas filas). Ahora considere el producto de la cuña
donde las dos expresiones corresponden a las dos columnas de nuestra matriz. Utilizando las propiedades del producto en forma de cuña, es decir, que es bilineal y alterna ,
y antisimétrico ,
podemos simplificar esta expresión a
donde los coeficientes coinciden con los menores calculados anteriormente.
Un comentario sobre notación diferente
En algunos libros, en lugar de cofactor se usa el término adjunto . [7] Además, se denota como A ij y se define de la misma manera que cofactor:
Usando esta notación, la matriz inversa se escribe de esta manera:
Tenga en cuenta que el adjunto no es adjunto ni adjunto . En la terminología moderna, el "adjunto" de una matriz se refiere con mayor frecuencia al operador adjunto correspondiente .
Ver también
Referencias
- ^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Teoría de las ecuaciones: con una introducción a la teoría de la forma algebraica binaria .
- ^ a b Álgebra matricial elemental (tercera edición), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
- ^ a b c "Menor". Enciclopedia de Matemáticas .
- ^ Álgebra lineal y geometría, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013 ISBN 978-3-642-30993-9
- ^ Bertha Jeffreys, Métodos de física matemática , p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0 .
- ^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 de junio de 1994). Problemas y teoremas en álgebra lineal . American Mathematical Soc. págs. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
- ^ Felix Gantmacher , Teoría de matrices (1ª ed., El idioma original es el ruso), Moscú: Editorial Estatal de literatura técnica y teórica, 1953, p.491,
enlaces externos
- Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre cofactores en Google Video, de MIT OpenCourseWare
- Entrada PlanetMath de cofactores
- Entrada de la Enciclopedia Springer de Matemáticas para Menores