Las ondas de Cohen-Daubechies-Feauveau son una familia de ondas biortogonales que se hizo popular por Ingrid Daubechies . [1] [2] Estas no son las mismas que las ondas ortogonales de Daubechies , y tampoco son muy similares en forma y propiedades. Sin embargo, su idea de construcción es la misma.
El estándar de compresión JPEG 2000 utiliza la ondícula biortogonal LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 (desarrollada por D. Le Gall y Ali J. Tabatabai) [3] [4] [5] para compresión sin pérdidas y una ondícula CDF 9/7 para compresión con pérdida .
Propiedades
- El generador primario es un B-spline si la factorización simple (ver más abajo) es elegido.
- El generador dual tiene el mayor número posible de factores de suavidad para su longitud.
- Todos los generadores y wavelets de esta familia son simétricos.
Construcción
Por cada entero positivo A existe un polinomio únicode grado A - 1 satisfaciendo la identidad
Este es el mismo polinomio que se utilizó en la construcción de las ondas de Daubechies . Pero, en lugar de una factorización espectral, aquí tratamos de factorizar
donde los factores son polinomios con coeficientes reales y coeficiente constante 1. Entonces
y
forman un par biortogonal de secuencias de escalado. d es un número entero utilizado para centrar las secuencias simétricas en cero o para hacer que los correspondientes filtros discretos sean causales.
Dependiendo de las raíces de , puede haber hasta diferentes factorizaciones. Una simple factorización es y , entonces la función de escala primaria es la B-spline de orden A - 1. Para A = 1 se obtiene la ondícula ortogonal de Haar .
Tablas de coeficientes
Para A = 2 se obtiene de esta manera la onda LeGall 5/3 :
A | Q A ( X ) | q prim ( X ) | q doble ( X ) | un remilgado ( Z ) | un doble ( Z ) |
---|---|---|---|---|---|
2 | 1 |
Para A = 4 se obtiene la ondícula 9/7-CDF . Uno consigue, este polinomio tiene exactamente una raíz real, por lo que es el producto de un factor lineal y un factor cuadrático. El coeficiente c , que es el inverso de la raíz, tiene un valor aproximado de -1,4603482098.
A | Q A ( X ) | q prim ( X ) | q doble ( X ) |
---|---|---|---|
4 |
Para los coeficientes de la escala centrada y las secuencias de ondículas, se obtienen valores numéricos en una forma amigable para la implementación.
k | Filtro de análisis de paso bajo (1/2 a doble ) | Filtro de análisis de paso alto ( b doble ) | Filtro de paso bajo de síntesis ( un remilgado ) | Filtro de paso alto de síntesis (1/2 b prim ) |
---|---|---|---|---|
−4 | 0.026748757411 | 0 | 0 | 0.026748757411 |
−3 | −0,016864118443 | 0.091271763114 | −0,091271763114 | 0.016864118443 |
−2 | −0,078223266529 | −0,057543526229 | −0,057543526229 | −0,078223266529 |
−1 | 0,266864118443 | −0,591271763114 | 0.591271763114 | −0,266864118443 |
0 | 0,602949018236 | 1.11508705 | 1.11508705 | 0,602949018236 |
1 | 0,266864118443 | −0,591271763114 | 0.591271763114 | −0,266864118443 |
2 | −0,078223266529 | −0,057543526229 | −0,057543526229 | −0,078223266529 |
3 | −0,016864118443 | 0.091271763114 | −0,091271763114 | 0.016864118443 |
4 | 0.026748757411 | 0 | 0 | 0.026748757411 |
Numeración
Hay dos esquemas de numeración concurrentes para wavelets de la familia CDF:
- el número de factores de suavidad de los filtros de paso bajo, o de manera equivalente, el número de momentos de desaparición de los filtros de paso alto, por ejemplo, "2, 2";
- los tamaños de los filtros de paso bajo, o equivalentemente los tamaños de los filtros de paso alto, por ejemplo, "5, 3".
La primera numeración se utilizó en el libro Diez conferencias de Daubechies sobre wavelets . Ninguna de estas numeraciones es única. El número de momentos de fuga no indica la factorización elegida. Un banco de filtros con tamaños de filtro 7 y 9 puede tener 6 y 2 momentos de desaparición cuando se usa la factorización trivial, o 4 y 4 momentos de desaparición como es el caso de la ondícula JPEG 2000. Por lo tanto, la misma ondícula puede denominarse "CDF 9/7" (según los tamaños de filtro) o "4, 4 biortogonal" (según los momentos de fuga). De manera similar, la misma ondícula puede por lo tanto denominarse "CDF 5/3" (en función de los tamaños de filtro) o "2, 2 biortogonal" (en función de los momentos de fuga).
Levantamiento de descomposición
Para los bancos de filtros trivialmente factorizados, se puede dar explícitamente una descomposición por elevación . [6]
Número par de factores de suavidad
Dejar será el número de factores de suavidad en el filtro de paso bajo B-spline, que será uniforme.
Luego defina recursivamente
Los filtros de elevación son
En conclusión, los resultados provisionales del levantamiento son
lo que lleva a
Los filtros y constituyen el CDF- n , 0 filterbank.
Número impar de factores de suavidad
Ahora deja sea extraño.
Luego defina recursivamente
Los filtros de elevación son
En conclusión, los resultados provisionales del levantamiento son
lo que lleva a
donde descuidamos la traslación y el factor constante.
Los filtros y constituyen el CDF- n , 1 banco de filtros.
Aplicaciones
La ondícula de Cohen-Daubechies-Feauveau y otras ondículas biortogonales se han utilizado para comprimir escaneos de huellas dactilares para el FBI . [7] Tom Hopper (FBI), Jonathan Bradley ( Laboratorio Nacional de Los Alamos ) y Chris Brislawn (Laboratorio Nacional de Los Alamos) desarrollaron un estándar para comprimir huellas dactilares de esta manera . [7] Mediante el uso de ondas, se puede lograr una relación de compresión de alrededor de 20 a 1, lo que significa que una imagen de 10 MB podría reducirse a tan solo 500 kB sin dejar de pasar las pruebas de reconocimiento. [7]
enlaces externos
- JPEG 2000: ¿Cómo funciona?
- Rápida y discreta CDF 9/7 código fuente de transformación wavelet en lenguaje C (implementación de elevación) en Wayback Machine (archivado el 5 de marzo de 2012)
- Transformada Wavelet CDF 9/7 para señales 2D a través de elevación: código fuente en Python
- Implementación de código abierto 5/3-CDF-Wavelet en C #, para longitudes arbitrarias
Referencias
- ^ Cohen, A .; Daubechies, I .; Feauveau, J.-C. (1992). "Bases biortogonales de ondículas de soporte compacto". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 45 (5): 485–560. doi : 10.1002 / cpa.3160450502 .
- ^ Daubechies, Ingrid (1992). Diez conferencias sobre wavelets . SIAM. doi : 10.1137 / 1.9781611970104 . ISBN 978-0-89871-274-2.
- ^ Sullivan, Gary (8 a 12 de diciembre de 2003). "Características generales y consideraciones de diseño para la codificación de video de subbanda temporal" . ITU-T . Grupo de expertos en codificación de videos . Consultado el 13 de septiembre de 2019 .
- ^ Bovik, Alan C. (2009). La guía esencial para el procesamiento de video . Prensa académica . pag. 355. ISBN 9780080922508.
- ^ Gall, D. Le; Tabatabai, Ali J. (1988). "Codificación de subbanda de imágenes digitales mediante filtros de núcleo corto simétricos y técnicas de codificación aritmética". ICASSP-88., Conferencia internacional sobre acústica, habla y procesamiento de señales : 761–764 vol.2. doi : 10.1109 / ICASSP.1988.196696 . S2CID 109186495 .
- ^ Thielemann, Henning (2006). "sección 3.2.4" . Ondas óptimamente emparejadas (tesis de doctorado).
- ^ a b c Cipra, Barry Arthur (1994). ¿Qué está pasando en las ciencias matemáticas (Vol. 2) Wavelets de Parlez-vous? . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821889985.