Las ondas de Daubechies , basadas en el trabajo de Ingrid Daubechies , son una familia de ondas ortogonales que definen una transformada de ondas discretas y se caracterizan por un número máximo de momentos de fuga para algún soporte dado . Con cada tipo de ondícula de esta clase, existe una función de escalado (denominada ondícula padre ) que genera un análisis ortogonal multirresolución .
Propiedades
En general, las ondas de Daubechies se elige para que tenga el número más alto A de fuga momentos, (esto no implica la mejor suavidad) para la anchura de apoyo dado (número de coeficientes) 2 A . [1] Hay dos esquemas de nomenclatura en uso, D N usando la longitud o el número de toques y db A refiriéndose al número de momentos de fuga. Entonces D4 y db2 son la misma transformada de ondículas.
Entre las 2 A −1 posibles soluciones de las ecuaciones algebraicas para las condiciones de momento y ortogonalidad, se elige aquella cuyo filtro de escala tiene fase extrema. La transformada de wavelet también es fácil de poner en práctica utilizando la transformada de wavelet rápida . Las ondículas de Daubechies se utilizan ampliamente para resolver una amplia gama de problemas, por ejemplo, propiedades de autosimilitud de una señal o problemas fractales , discontinuidades de la señal, etc.
Las ondículas de Daubechies no se definen en términos de las funciones de escala y ondícula resultantes; de hecho, no es posible anotarlos en forma cerrada . Los siguientes gráficos se generan utilizando el algoritmo en cascada , una técnica numérica que consiste en transformar [1 0 0 0 0 ...] en forma inversa un número apropiado de veces.
Funciones de escala y ondícula | |||
Amplitudes de los espectros de frecuencia de las funciones anteriores. |
Tenga en cuenta que los espectros que se muestran aquí no son la respuesta de frecuencia de los filtros de paso alto y bajo, sino más bien las amplitudes de las transformadas continuas de Fourier de las funciones de escala (azul) y wavelet (rojo).
Ondas ortogonales de Daubechies D2 – D20 resp. db1 – db10 se utilizan comúnmente. El número de índice se refiere al número N de coeficientes. Cada ondícula tiene un número de momentos cero o momentos de fuga igual a la mitad del número de coeficientes. Por ejemplo, D2 tiene un momento de fuga, D4 tiene dos, etc. Un momento de fuga limita la capacidad de las ondas de representar el comportamiento polinómico o la información en una señal. Por ejemplo, D2, con un momento de fuga, codifica fácilmente polinomios de un coeficiente o componentes de señal constante. D4 codifica polinomios con dos coeficientes, es decir, componentes de señal constante y lineal; y D6 codifica 3-polinomios, es decir, componentes de señal constante, lineal y cuadrática . No obstante, esta capacidad para codificar señales está sujeta al fenómeno de la fuga de escala y la falta de invariancia de cambio, que surge de la operación de cambio discreto (abajo) durante la aplicación de la transformada. Las subsecuencias que representan componentes de señal lineales, cuadráticos (por ejemplo) son tratadas de manera diferente por la transformada dependiendo de si los puntos se alinean con ubicaciones de números pares o impares en la secuencia. La falta de la propiedad importante de la invariancia de desplazamiento ha llevado al desarrollo de varias versiones diferentes de una transformada de ondícula (discreta) invariante de desplazamiento .
Construcción
Tanto la secuencia de escalado (filtro de paso bajo) como la secuencia de ondas (filtro de paso de banda) (consulte la ondícula ortogonal para obtener detalles de esta construcción) se normalizarán aquí para que la suma sea igual a 2 y la suma de cuadrados sea igual a 2. En algunas aplicaciones, están normalizados para tener suma, de modo que ambas secuencias y todos los cambios de ellas en un número par de coeficientes son ortonormales entre sí.
Usando la representación general para una secuencia de escalado de una transformada de ondícula discreta ortogonal con orden de aproximación A ,
con N = 2 A , p con coeficientes reales, p (1) = 1 y deg ( p ) = A - 1, se puede escribir la condición de ortogonalidad como
o igualmente como
con el polinomio de Laurent
generando todas las secuencias simétricas y Además, P ( X ) representa el polinomio de Laurent simétrico
Desde
P toma valores no negativos en el segmento [0,2].
La ecuación (*) tiene una solución mínima para cada A , que se puede obtener por división en el anillo de series de potencia truncadas en X ,
Obviamente, esto tiene valores positivos en (0,2).
La ecuación homogénea para (*) es antisimétrica alrededor de X = 1 y tiene, por tanto, la solución general
con R algún polinomio con coeficientes reales. Que la suma
será no negativo en el intervalo [0,2] traduce en un conjunto de restricciones lineales en los coeficientes de R . Los valores de P en el intervalo [0,2] están limitados por alguna cantidadmaximizar r da como resultado un programa lineal con infinitas condiciones de desigualdad.
Resolver
para p se utiliza una técnica llamada factorización espectral resp. Algoritmo de Fejér-Riesz. El polinomio P ( X ) se divide en factores lineales
Cada factor lineal representa un polinomio de Laurent
que se puede factorizar en dos factores lineales. Se puede asignar cualquiera de los dos factores lineales ap ( Z ), por lo que se obtienen 2 N posibles soluciones. Para la fase extrema, se elige la que tiene todas las raíces complejas de p ( Z ) dentro o en el círculo unitario y, por lo tanto, es real.
Para la transformada de ondículas de Daubechies, se utiliza un par de filtros lineales. Cada filtro del par debe ser un filtro de espejo en cuadratura . Resolviendo el coeficiente del filtro lineal El uso de la propiedad de filtro de espejo en cuadratura da como resultado la siguiente solución para los valores de coeficiente para el filtro de orden 4.
Las secuencias de escalado de menor orden de aproximación
A continuación se muestran los coeficientes de las funciones de escala para D2-20. Los coeficientes de ondícula se obtienen invirtiendo el orden de los coeficientes de la función de escala y luego invirtiendo el signo de cada segundo, (es decir, D4 wavelet{−0,1830127, −0,3169873, 1,1830127, −0,6830127}). Matemáticamente, esto parecedonde k es el índice de coeficiente, b es un coeficiente de la secuencia de ondículas y a un coeficiente de la secuencia de escalado. N es el índice de ondículas, es decir, 2 para D2.
D2 ( Haar ) | D4 | D6 | D8 | D10 | D12 | D14 | D16 | D18 | D20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0,6830127 | 0,47046721 | 0.32580343 | 0.22641898 | 0.15774243 | 0,11009943 | 0.07695562 | 0.05385035 | 0.03771716 |
1 | 1.1830127 | 1.14111692 | 1.01094572 | 0.85394354 | 0,69950381 | 0.56079128 | 0,44246725 | 0,34483430 | 0,26612218 |
0.3169873 | 0,650365 | 0.89220014 | 1.02432694 | 1.06226376 | 1.03114849 | 0,95548615 | 0.85534906 | 0,74557507 | |
−0,1830127 | −0,19093442 | −0,03957503 | 0.19576696 | 0,44583132 | 0,66437248 | 0.82781653 | 0.92954571 | 0,97362811 | |
−0,12083221 | −0,26450717 | −0,34265671 | −0,31998660 | −0,20351382 | −0,02238574 | 0.18836955 | 0.39763774 | ||
0.0498175 | 0.0436163 | −0,04560113 | −0,18351806 | −0,31683501 | −0,40165863 | −0,41475176 | −0,35333620 | ||
0.0465036 | 0.10970265 | 0.13788809 | 0.1008467 | 6.68194092 × 10 −4 | −0,13695355 | −0,27710988 | |||
−0,01498699 | −0,00882680 | 0.03892321 | 0.11400345 | 0.18207636 | 0,21006834 | 0.18012745 | |||
−0,01779187 | −0,04466375 | −0,05378245 | −0,02456390 | 0.043452675 | 0.13160299 | ||||
4,71742793 × 10 −3 | 7.83251152 × 10 −4 | −0,02343994 | −0,06235021 | −0,09564726 | −0,10096657 | ||||
6,75606236 × 10 −3 | 0.01774979 | 0.01977216 | 3,54892813 × 10 −4 | −0,04165925 | |||||
−1,52353381 × 10 −3 | 6.07514995 × 10 −4 | 0.01236884 | 0.03162417 | 0.04696981 | |||||
−2,54790472 × 10 −3 | −6,88771926 × 10 −3 | −6,67962023 × 10 −3 | 5.10043697 × 10 −3 | ||||||
5,00226853 × 10 −4 | −5,54004549 × 10 −4 | −6,05496058 × 10 −3 | −0,01517900 | ||||||
9.55229711 × 10 −4 | 2.61296728 × 10 −3 | 1,97332536 × 10 −3 | |||||||
−1,66137261 × 10 −4 | 3,25814671 × 10 −4 | 2.81768659 × 10 −3 | |||||||
−3,56329759 × 10 −4 | −9,69947840 × 10 −4 | ||||||||
5.5645514 × 10 −5 | −1,64709006 × 10 −4 | ||||||||
1,32354367 × 10 −4 | |||||||||
−1,875841 × 10 −5 |
Partes de la construcción también se utilizan para derivar las ondas biortogonales de Cohen-Daubechies-Feauveau (CDF).
Implementación
Mientras que software como Mathematica soporta directamente wavelets de Daubechies [2], es posible una implementación básica en MATLAB (en este caso, Daubechies 4). Esta implementación usa periodización para manejar el problema de las señales de longitud finita. Hay disponibles otros métodos más sofisticados, pero a menudo no es necesario utilizarlos, ya que solo afecta a los extremos de la señal transformada. La periodización se logra en la transformación directa directamente en la notación vectorial MATLAB y la transformación inversa mediante la función circshift () :
Transformar, D4
Se supone que S , un vector de columna con un número par de elementos, se ha predefinido como la señal a analizar. Tenga en cuenta que los coeficientes D4 son [1 + √ 3 , 3 + √ 3 , 3 - √ 3 , 1 - √ 3 ] / 4.
N = longitud ( S ); s1 = S ( 1 : 2 : N - 1 ) + raíz cuadrada ( 3 ) * S ( 2 : 2 : N ); d1 = S ( 2 : 2 : N ) - raíz cuadrada ( 3 ) / 4 * s1 - ( raíz cuadrada ( 3 ) - 2 ) / 4 * [ s1 ( N / 2 ); s1 ( 1 : N / 2 - 1 )]; s2 = s1 - [ d1 ( 2 : N / 2 ); d1 ( 1 )]; s = ( raíz cuadrada ( 3 ) - 1 ) / raíz cuadrada ( 2 ) * s2 ; d = - ( raíz cuadrada ( 3 ) + 1 ) / raíz cuadrada ( 2 ) * d1 ;
Transformada inversa, D4
d1 = d * (( raíz cuadrada ( 3 ) - 1 ) / raíz cuadrada ( 2 )); s2 = s * (( raíz cuadrada ( 3 ) + 1 ) / raíz cuadrada ( 2 )); s1 = s2 + desplazamiento circular ( d1 , - 1 ); S ( 2 : 2 : N ) = d1 + sqrt ( 3 ) / 4 * s1 + ( sqrt ( 3 ) - 2 ) / 4 * circshift ( s1 , 1 ); S ( 1 : 2 : N - 1 ) = s1 - raíz cuadrada ( 3 ) * S ( 2 : 2 : N );
Ver también
- Binomial-QMF (filtros de ondas de Daubechies)
- Transformada de ondícula rápida
Referencias
- ^ I. Daubechies, Diez conferencias sobre Wavelets, SIAM, 1992, p. 194.
- ^ Daubechies Wavelet en Mathematica. Tenga en cuenta que n es n / 2 del texto.
- Jensen; la Cour-Harbo (2001). Ondas en matemáticas . Berlín: Springer. págs. 157–160. ISBN 3-540-41662-5.
- Jianhong (Jackie) Shen y Gilbert Strang , Análisis armónico computacional y aplicado , 5 (3), Asintótica de filtros Daubechies, Funciones de escala y Wavelets .
enlaces externos
- Ingrid Daubechies: Diez conferencias sobre Wavelets , SIAM 1992
- AN Akansu, una estructura eficiente de QMF-Wavelet (Binomial-QMF Daubechies Wavelets), Proc. 1er Simposio de NJIT sobre Wavelets, abril de 1990
- Proc. 1er Simposio de NJIT sobre Wavelets, Subbandas y Transformaciones, abril de 1990
- AN Akansu, RA Haddad y H. Caglar, Transformada QMF-Wavelet binomial de reconstrucción perfecta , Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, págs. 609–618, Lausana, septiembre de 1990
- Carlos Cabrelli, Ursula Molter : Auto-semejanza generalizada ", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251-260, 1999.
- Implementación de hardware de wavelets
- "Ondas de Daubechies" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- I. Kaplan, La Transformada Wavelet de Daubechies D4 .