La paradoja de la rotación de la moneda es la observación contraria a la intuición de que, cuando una moneda se rueda alrededor del borde de otra moneda del mismo tamaño, la moneda en movimiento completa dos rotaciones completas después de dar la vuelta completa a la moneda estacionaria. [1]
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Descripción
Comience con dos monedas idénticas tocándose entre sí en una mesa, con los lados de la "cabeza" mostrados y paralelos. Manteniendo la moneda A estacionaria, gire la moneda B alrededor de A, manteniendo un punto de contacto sin deslizamiento. Cuando la moneda B llegue al lado opuesto, las dos caras volverán a estar paralelas; B ha hecho una revolución. Continuar moviendo B lo devuelve a la posición inicial y completa una segunda revolución. Paradójicamente, la moneda B ha rodado una distancia igual al doble de su circunferencia.
A medida que la moneda B gira, cada punto de su perímetro describe (se mueve a través de) una curva cardioide .
Comparación
La moneda rodante participa en dos movimientos separados como la luna en relación con la tierra (excepto que la luna completa solo una rotación cada 28 días). La luna gira una vez mientras gira alrededor de un camino elíptico en relación con el norte verdadero, mientras que la moneda en movimiento gira dos veces mientras gira alrededor del centro de la otra moneda (fija).
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Análisis y solución
De principio a fin, el centro de la moneda en movimiento recorre una trayectoria circular. El borde de la moneda estacionaria y dicho recorrido forman dos círculos concéntricos. El radio del camino es el doble del radio de cualquiera de las monedas. Por lo tanto, la circunferencia del camino es el doble de la circunferencia de cualquiera de las monedas. [2] Para dar la vuelta completa a la moneda estacionaria, el centro de la moneda en movimiento debe viajar dos veces la circunferencia de la moneda. Cuánto gira la moneda en movimiento alrededor de su propio centro en el camino, si lo hay, o en qué dirección (en el sentido de las agujas del reloj, en el sentido contrario a las agujas del reloj o en ambas) no tiene ningún efecto en la longitud del camino. Que la moneda gire dos veces como se describió anteriormente y que se enfoque en el borde de la moneda en movimiento cuando toca la moneda estacionaria son distracciones.
Radios desiguales y otras formas
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Una moneda de radio r que rueda alrededor de una de radio R hace rotaciones R / r + 1. [3] Esto se debe a que el centro de la moneda que rueda recorre una trayectoria circular con un radio (o circunferencia) de (R + r) / r = R / r + 1 veces su propio radio (o circunferencia). En el caso límite cuando R = 0, la moneda con radio r hace 0 / r + 1 = 1 rotación simple alrededor de su punto inferior.
En el ejemplo de la figura, R = 3 r . En la figura 1, con R enderezado, el número de rotaciones (número de veces que la flecha apunta hacia arriba) es R / r = 3. En la figura 2, como R se ha restaurado en un círculo, la moneda hace una rotación adicional, lo que da R / r + 1 = 4.
El SAT del 1 de mayo de 1982 tenía una pregunta sobre este problema y, debido a un error humano, tuvo que volver a calificar después de que 3 estudiantes demostraron que no había una respuesta correcta entre las opciones. [4]
La forma alrededor de la cual se rueda la moneda no necesita ser un círculo: se agrega una rotación adicional a la relación de sus perímetros cuando es un polígono simple o una curva cerrada que no se cruza. Si la forma es compleja , el número de rotaciones sumado (o restado, si la moneda rueda dentro de la curva) es el valor absoluto de su número de giro .
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Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Paradoja de la moneda" . MathWorld .
- ^ Manojo, Bryan H. (1982). Falacias y paradojas matemáticas . Van Nostrand Reinhold. págs. 10-11. ISBN 0-442-24905-5.
- ^ Talwalkar, Presh (5 de julio de 2015). Todos se equivocaron en esta pregunta de matemáticas del SAT . MindYourDecisions - a través de YouTube.
- ^ "Error encontrado en pregunta SAT" . The New York Times . United Press International. 25 de mayo de 1982. ISSN 0362-4331 . Consultado el 9 de febrero de 2021 .
enlaces externos
- Nguyen, Huyen (4 de junio de 2020). "respuesta a la pregunta ¿Qué hecho matemático comprobado te sorprendió más ... " . Quora .
- Esta respuesta votada incluye animaciones y explicaciones intuitivas sobre la pregunta original donde r de la "moneda exterior" era 1/3 del radio de la moneda interior.