Un cardioide (del griego καρδία "corazón") es una curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que gira alrededor de un círculo fijo del mismo radio. También se puede definir como un epicicloide que tiene una sola cúspide . También es un tipo de espiral sinusoidal y una curva inversa de la parábola con el foco como centro de inversión. [1] También es el conjunto de puntos de reflexión de un punto fijo en un círculo a través de todas las tangentes al círculo. [2]
El nombre fue acuñado por de Castillon en 1741 [3], pero había sido objeto de estudio décadas antes. [4] Llamado así por su forma de corazón, se parece más al contorno de la sección transversal de una manzana redonda sin el tallo.
Un micrófono cardioide exhibe un patrón de captación acústica que, cuando se grafica en dos dimensiones, se asemeja a un cardioide (cualquier plano 2d que contiene la línea recta 3d del cuerpo del micrófono). En tres dimensiones, el cardioide tiene la forma de una manzana centrada alrededor del micrófono que es el "tallo" de la manzana.
Ecuaciones
Dejar ser el radio común de los dos círculos generadores con puntos medios , el ángulo de balanceo y el origen el punto de partida (ver imagen). Uno obtiene el
y de aquí la representación en
- .
Presentando las sustituciones y se obtiene después de eliminar la raíz cuadrada la representación implícita en
- .
Prueba de la representación paramétrica
Se puede establecer una demostración utilizando números complejos y su descripción común como el plano complejo . El movimiento de balanceo del círculo negro sobre el azul se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo una rotación alrededor del punto (origen) en un ángulo se puede realizar mediante la multiplicación de un punto (número complejo) por . Por lo tanto, la
- rotación alrededor del punto es ,
- rotación alrededor del punto es: .
Un punto del cardioide se genera girando el origen alrededor del punto y posterior rotación por el mismo ángulo :
- .
A partir de aquí se obtiene la representación paramétrica anterior:
(Las siguientes fórmulas fueron usados. Ver funciones trigonométricas .)
Propiedades métricas
Para el cardioide, tal como se definió anteriormente, se mantienen las siguientes fórmulas:
- área ,
- longitud de arco y
- radio de curvatura
Las pruebas de estas afirmaciones utilizan en ambos casos la representación polar del cardioide. Para obtener fórmulas adecuadas, consulte el sistema de coordenadas polares (longitud del arco) y el sistema de coordenadas polares (área)
- prueba de la fórmula del área
- .
- prueba de la fórmula de la longitud del arco
- .
- prueba del radio de curvatura
El radio de curvatura de una curva en coordenadas polares con ecuación es (s. curvatura )
Para el cardioide uno consigue
Propiedades
Acordes a través de la cúspide
- C1: los acordes que atraviesan la cúspide del cardioide tienen la misma longitud .
- C2: Los puntos medios de las cuerdas a través de la cúspide se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo (ver imagen).
- prueba para C1
Los puntos están en un acorde a través de la cúspide (= origen). Por eso
- .
- prueba para C2
Para la prueba se usa la representación en el plano complejo (ver arriba). Por los puntos
- ,
el punto medio del acorde es
que se encuentra en el perímetro del círculo con punto medio y radio (ver foto).
Cardioide como curva inversa de una parábola
- Un cardioide es la curva inversa de una parábola con su foco en el centro de inversión (ver gráfico)
Para el ejemplo que se muestra en el gráfico, los círculos del generador tienen un radio . Por lo tanto, el cardioide tiene la representación polar.
y su curva inversa
- ,
que es una parábola (s. parábola en coordenadas polares ) con la ecuación en coordenadas cartesianas.
Observación: No todas las curvas inversas de una parábola son cardioides. Por ejemplo, si se invierte una parábola a través de un círculo cuyo centro se encuentra en el vértice de la parábola, entonces el resultado es un cissoide de Diocles .
Cardioide como sobre de un lápiz de círculos
En la sección anterior, si se invierten adicionalmente las tangentes de la parábola, se obtiene un lápiz de círculos a través del centro de inversión (origen). Una consideración detallada muestra: Los puntos medios de los círculos se encuentran en el perímetro del círculo generador fijo. (El círculo generador es la curva inversa de la directriz de las parábolas).
Esta propiedad da lugar al siguiente método simple para dibujar un cardioide:
- 1) Elige un círculo y un punto en su perímetro,
- 2) dibuja círculos que contengan con centros en , y
- 3) dibuja el sobre de estos círculos.
- prueba con condición de sobre
La envoltura del lápiz de curvas implícitamente dadas
con parámetro consta de tales puntos que son soluciones del sistema no lineal
- ( estado del sobre ).
(significa la derivada parcial del parámetro.
Dejar ser el círculo con punto medio y radio . Luego tiene representación paramétrica . El lápiz de círculos con centros en punto de contención puede ser representado implícitamente por
- ,
que es equivalente a
La segunda condición del sobre es
- .
Se comprueba fácilmente que los puntos del cardioide con la representación paramétrica
Cumplir con el sistema no lineal anterior. El parámetro es idéntico al parámetro de ángulo del cardioide.
Cardioide como sobre de un lápiz de líneas
Un método similar y simple para dibujar un cardioide usa un lápiz de líneas . Se debe a L. Cremona :
- Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes iguales espaciadas con puntos (s. imagen) y numerarlos consecutivamente.
- Dibuja los acordes: . (es decir, el segundo punto se mueve a doble velocidad).
- La envolvente de estos acordes es cardioide.
- prueba
La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para. Para mantener los cálculos simples, la prueba se da para el cardioide con representación polar(ver sección Cardioides en diferentes posiciones ).
- ecuación de la tangente
del cardioide con representación polar:
- De la representación paramétrica
uno obtiene el vector normal . La ecuación de la tangente es:
Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y posterior división por , la ecuación de la tangente se puede reescribir como:
- ecuación del acorde
del círculo con punto medio y radio : Para la ecuación de la recta secante que pasa por los dos puntos uno obtiene:
Con la ayuda de fórmulas trigonométricas y la subsecuente división por la ecuación de la recta secante se puede reescribir de la siguiente manera:
A pesar de los dos ángulos tienen diferentes significados (imagen) uno obtiene para la misma línea. Por lo tanto, cualquier línea secante del círculo, definida anteriormente, también es una tangente del cardioide:
- El cardioide es la envolvente de las cuerdas de un círculo.
Observación:
La prueba se puede realizar con ayuda de las condiciones de envolvente (ver sección anterior) de un lápiz implícito de curvas:
- es el lápiz de las líneas secantes de un círculo (s. arriba) y
Para el parámetro fijo t, ambas ecuaciones representan líneas. Su punto de intersección es
- ,
que es un punto del cardioide con ecuación polar
Cardioide como cáustico de un círculo
Las consideraciones hechas en la sección anterior dan una prueba de que la cáustica de un círculo con fuente de luz en el perímetro del círculo es cardioide.
- Si en el avión hay una fuente de luz en un punto en el perímetro de un círculo que refleja cualquier rayo, entonces los rayos reflejados dentro del círculo son tangentes de un cardioide.
- prueba
Como en la sección anterior, el círculo puede tener un punto medio. y radio . Su representación paramétrica es
La tangente en el punto del círculo tiene vector normal . Por tanto, el rayo reflejado tiene el vector normal (ver gráfico) y contiene el punto . El rayo reflejado es parte de la línea con ecuación (ver sección anterior)
que es tangente del cardioide con ecuación polar
de la sección anterior.
Observación: Por tales consideraciones, generalmente se descuidan los reflejos múltiples en el círculo.
Cardioide como curva de pedal de un círculo
La generación Cremona de un cardioide no debe confundirse con la siguiente generación:
Permitir un circulo y un punto en el perímetro de este círculo. Lo siguiente es cierto:
- Los pies de las perpendiculares desde el punto en las tangentes del círculo son puntos de un cardioide.
Por lo tanto, un cardioide es una curva de pedal especial de un círculo.
- prueba
En un círculo del sistema de coordenadas cartesiano puede tener un punto medio y radio . La tangente en el punto del círculo tiene la ecuación
El pie de la perpendicular desde el punto en la tangente es el punto con la distancia aún desconocida al origen . Insertar el punto en la ecuación de la tangente produce
que es la ecuación polar de un cardioide.
Observación: si el punto no está en el perímetro del círculo , se obtiene una limaçon de Pascal .
La evoluta de un cardioide
La evolución de una curva es el lugar de los centros de curvatura. En detalle: para una curva con radio de curvatura la evoluta tiene la representación
con la unidad adecuadamente orientada normal.
Para un cardioide se obtiene:
- La evolución de un cardioide es otro cardioide de un tercio del tamaño (imagen).
- prueba
Para el cardioide con representación paramétrica
la unidad normal es
y el radio de curvatura
Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la evoluta son
Estas ecuaciones describen un cardioide de un tercio de su tamaño, girado 180 grados y desplazado a lo largo del eje x en .
(Se utilizaron fórmulas trigonométricas: )
Trayectorias ortogonales
Una trayectoria ortogonal de un lápiz de curvas es una curva que corta ortogonalmente cualquier curva del lápiz. Para los cardioides, lo siguiente es cierto:
- Las trayectorias ortogonales del lápiz de cardioides con ecuaciones
- son los cardioides con ecuaciones
(El segundo lápiz se puede considerar como reflejos en el eje y del primero. Ver diagrama).
Prueba:
para una curva dada en coordenadas polares por una función la siguiente conexión con las coordenadas cartesianas se mantiene:
y para los derivados
Al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la línea tangente a la curva en el punto :
Para los cardioides con las ecuaciones y respectivamente uno obtiene:
- y
(La pendiente de cualquier curva depende de solo, y no de los parámetros !)
Por lo tanto
Eso significa: cualquier curva del primer lápiz se cruza con cualquier curva del segundo lápiz de forma ortogonal.
En diferentes posiciones
La elección de otras posiciones del cardioide dentro del sistema de coordenadas da como resultado ecuaciones diferentes. La imagen muestra las 4 posiciones más comunes de un cardioide y sus ecuaciones polares.
En análisis complejo
En análisis complejo , la imagen de cualquier círculo a través del origen debajo del mapaes un cardioide. Una aplicación de este resultado es que el límite del componente central del período 1 del conjunto de Mandelbrot es un cardioide dado por la ecuación
El conjunto de Mandelbrot contiene un número infinito de copias ligeramente distorsionadas de sí mismo y el bulbo central de cualquiera de estas copias más pequeñas es un cardioide aproximado.
Cáusticos
Ciertos cáusticos pueden tomar la forma de cardioides. El catacáustico de un círculo con respecto a un punto de la circunferencia es cardioide. Asimismo, la catacáustica de un cono con respecto a los rayos paralelos a una línea generadora es una superficie cuya sección transversal es cardioide. Esto se puede ver, como en la fotografía de la derecha, en una copa cónica parcialmente llena de líquido cuando una luz brilla desde una distancia y en un ángulo igual al ángulo del cono. [5] La forma de la curva en la parte inferior de una copa cilíndrica es la mitad de una nefroide , que se ve bastante similar.
Ver también
- Limaçon
- Nefroide
- Deltoides
- Vara de Wittgenstein
- Micrófono cardioide
- Lemniscate de Bernoulli
- Antena de bucle
- Buscador de dirección de radio
- Radiogoniometría
- Antena Yagi
- Giovanni Salvemini
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. "Curva inversa de la parábola" . MathWorld .
- ^ S Balachandra Rao. Cálculo diferencial, pág. 457
- ^ Lockwood
- ^ Yates
- ^ "Surface Caustique" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
Referencias
- RC Yates (1952). "Cardioide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 4 y sigs.
- Wells D (1991). El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Nueva York: Penguin Books. págs. 24-25 . ISBN 0-14-011813-6.
enlaces externos
- "Cardioide" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Cardioid" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- Abundante comiendo cardioides al cortar el nudo
- Weisstein, Eric W. "Cardioide" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Epicicloide - 1-Cúspide" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Curva del corazón" . MathWorld .
- Xah Lee, Cardioid (1998) (Este sitio proporciona una serie de construcciones alternativas) .
- Jan Wassenaar, cardioide , (2005)