En la geometría de Riemann , un colapso o colector colapsada es un n -dimensional colector M que admite una secuencia de Riemann métricas g i , de tal manera que como i tiende a infinito el colector está cerca de una k espacio dimensional, donde k < n , en el sentido de distancia de Gromov-Hausdorff . Generalmente existen algunas restricciones en las curvaturas seccionales de ( M , g i ). El ejemplo más simple es un colector plano, cuya métrica se puede reescalar en 1 / i , de modo que la variedad está cerca de un punto, pero su curvatura sigue siendo 0 para todo i .
Ejemplos de
En términos generales, existen dos tipos de colapso:
(1) El primer tipo es un colapso mientras se mantiene la curvatura uniformemente acotada, digamos .
Dejar ser una secuencia de variedades Riemannianas dimensionales, donde denota la curvatura en sección del i- ésimo colector. Hay un teorema probado por Jeff Cheeger , Kenji Fukaya y Mikhail Gromov , que establece que: existe una constante tal que si y , luego admite una estructura N , condenota el radio de inyectividad del colector M . En términos generales, la estructura N es una acción local de una variedad nula , que es una generalización de una estructura F , introducida por Cheeger y Gromov. Este teorema generalizó los teoremas anteriores de Cheeger-Gromov y Fukaya, donde solo se ocupan de la acción del toro y los casos de diámetro acotado, respectivamente.
(2) El segundo tipo es el colapso manteniendo solo el límite inferior de curvatura, digamos .
Esto está estrechamente relacionado con la denominada caja de colectores de curvatura casi no negativa, que generaliza los colectores de curvatura no negativa así como los colectores casi planos. Se dice que una variedad tiene una curva casi no negativa si admite una secuencia de métricas, tal que y . El papel que juega una variedad curvada casi no negativamente en este caso de colapso cuando la curvatura está delimitada por debajo es el mismo que juega una variedad casi plana en el caso delimitado por curvatura.
Cuando la curvatura está limitada solo desde abajo, el espacio límite llamado es un espacio Alexandrov . Yamaguchi demostró que en la parte regular del espacio límite, hay una forma de fibración localmente trivial. a Cuándo es suficientemente grande, la fibra es un colector curvado casi no negativamente. [ cita requerida ] Aquí el regular significa el-el radio del filtro está delimitado uniformemente desde abajo por un número positivo, o hablando en términos generales, el espacio localmente cerrado al espacio euclidiano.
¿Qué sucede en un punto singular de ? No hay respuesta a esta pregunta en general. Pero en la dimensión 3, Shioya y Yamaguchi dan una clasificación completa de este tipo de variedad colapsada. Demostraron que existe un y tal que si un colector tridimensional satisface entonces una de las siguientes es verdadera: (i) M es una variedad gráfica o (ii) tiene un diámetro menor que y tiene grupo fundamental finito.