Nilmanifold
En matemáticas , una variedad nula es una variedad diferenciable que tiene un grupo transitivo nilpotente de difeomorfismos actuando sobre ella. Como tal, un nilmanifold es un ejemplo de un espacio homogéneo y es difeomorfa al espacio cociente , el cociente de un nilpotent grupo de Lie N módulo un cerrado subgrupo H . Esta noción fue introducida por Anatoly Mal'cev en 1951.
En la categoría de Riemann, también hay una buena noción de una variedad nula. Una variedad de Riemann se llama una variedad nula homogénea si existe un grupo nilpotente de isometrías que actúan transitivamente sobre ella. El requisito de que el grupo nilpotente transitivo actúe por isometrías conduce a la siguiente caracterización rígida: cada colector nulo homogéneo es isométrico a un grupo de Lie nilpotente con métrica invariante a la izquierda (ver Wilson [1] ).
Nilmanifolds son objetos geométricos importantes y, a menudo, surgen como ejemplos concretos con propiedades interesantes; en la geometría de Riemann, estos espacios siempre tienen curvatura mixta, [2] los espacios casi planos surgen como cocientes de nilmanifolds, [3] y se han utilizado nilmanifolds compactos para construir ejemplos elementales de colapso de métricas de Riemann bajo el flujo de Ricci. [4]
Además de su papel en la geometría, se considera cada vez más que los nilmanifolds tienen un papel en la combinatoria aritmética (ver Green-Tao [5] ) y la teoría ergódica (ver, por ejemplo, Host-Kra [6] ).
Un colector nulo compacto es un colector nulo que es compacto. Una forma de construir tales espacios es comenzar con un grupo N de Lie nilpotente simplemente conectado y un subgrupo discreto . Si el subgrupo actúa de manera cocompacta (mediante la multiplicación por la derecha) en N , entonces la variedad cociente será una variedad nula compacta. Como ha demostrado Mal'cev, cada nilmanifold compacto se obtiene de esta manera. [7]
Un subgrupo Tal como arriba se llama un enrejado en N . Es bien sabido que un grupo de Lie nilpotente admite una red si y solo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racional : este es el criterio de Malcev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten celosías; para obtener más detalles, consulte también MS Raghunathan . [8]