En matemáticas , se dice que una variedad de Riemann es plana si su tensor de curvatura de Riemann es cero en todas partes. Intuitivamente, una variedad plana es aquella que "localmente se parece" al espacio euclidiano en términos de distancias y ángulos, por ejemplo, los ángulos interiores de un triángulo suman 180 °.
La cubierta universal de un colector plano completo es el espacio euclidiano. Esto se puede utilizar para probar el teorema de Bieberbach ( 1911 , 1912 ) de que todas las variedades planas compactas están finitamente cubiertas por tori; el caso tridimensional fue probado anteriormente por Schoenflies (1891) .
Ejemplos de
Los siguientes colectores pueden dotarse de una métrica plana. Tenga en cuenta que esta puede no ser su métrica 'estándar' (por ejemplo, la métrica plana en el toro bidimensional no es la métrica inducida por su incrustación habitual en).
Dimensión 1
Cada variedad de Riemann unidimensional es plana. Por el contrario, dado que cada variedad lisa unidimensional conectada es difeomórfica a cualquiera o Es sencillo ver que cada variedad Riemanniana unidimensional conectada es isométrica a una de las siguientes (cada una con su estructura Riemanniana estándar):
- la linea real
- el intervalo abierto por algún número
- el intervalo abierto
- el círculo de radio por algún número
Solo el primero y el último están completos. Si se incluyen variedades con límite de Riemann, entonces también se deben incluir los intervalos semiabiertos y cerrados.
La simplicidad de una descripción completa en este caso podría atribuirse al hecho de que cada variedad de Riemann unidimensional tiene un campo vectorial uniforme de longitud unitaria, y que se proporciona una isometría de uno de los ejemplos de modelos anteriores considerando una curva integral.
Dimensión 2
Las cinco posibilidades, hasta el difeomorfismo
Si es un colector de Riemannian plano completo conectado bidimensional liso, entonces debe ser difeomorfo para la tira de Möbius o la botella de Klein . Tenga en cuenta que las únicas posibilidades compactas son y la botella de Klein, mientras que las únicas posibilidades orientables son y
Se necesita más esfuerzo para describir las distintas métricas riemannianas planas completas en estos espacios. Por ejemplo,incluso tiene muchas métricas de producto plano diferentes, ya que uno podría tomar los dos factores para tener diferentes radios; por lo tanto, este espacio incluso tiene diferentes métricas de productos planos que no son isométricos hasta un factor de escala. Para hablar de manera uniforme sobre las cinco posibilidades, y en particular para trabajar concretamente con la tira de Möbius y la botella de Klein como variedades abstractas, es útil utilizar el lenguaje de las acciones grupales.
Las cinco posibilidades, hasta la isometría
Dado dejar denotar la traducción dada por Dejar denotar el reflejo dada por Dados dos números positivos considere los siguientes subgrupos de el grupo de isometrías de con su métrica estándar.
- previsto
Todos estos son grupos que actúan libre y adecuadamente de manera discontinua sobre y así los distintos espacios laterales todos, naturalmente, tienen la estructura de variedades riemannianas planas completas bidimensionales. Ninguno de ellos es isométrico entre sí, y cualquier colector de Riemanniano plano completo bidimensional liso conectado es isométrico para uno de ellos.
Orbifolds
Hay 17 orbifolds compactos bidimensionales con métrica plana (incluido el toro y la botella de Klein), enumerados en el artículo sobre orbifolds , que corresponden a los 17 grupos de papel tapiz .
Observaciones
Tenga en cuenta que la 'imagen' estándar del toro como una rosquilla no lo presenta con una métrica plana, ya que los puntos más alejados del centro tienen una curvatura positiva mientras que los puntos más cercanos al centro tienen una curvatura negativa. Según la formulación de Kuiper del teorema de incrustación de Nash , hay una incrustación que induce a cualquiera de las métricas de productos planos que existen en pero estos no son fácilmente visualizables. Desde se presenta como una subvariedad incrustada de cualquiera de las estructuras de producto (planas) en se presentan naturalmente como subvariedades de Asimismo, las visualizaciones tridimensionales estándar de la botella de Klein no presentan una métrica plana. La construcción estándar de una tira de Möbius, al pegar los extremos de una tira de papel, le da una métrica plana, pero no está completa.
Dimensión 3
Para obtener la lista completa de los 6 ejemplos compactos orientables y 4 no orientables, consulte Espacio de fibra Seifert .
Mayores dimensiones
- Espacio euclidiano
- Tori
- Productos de colectores planos
- Cocientes de variedades planas por grupos que actúan libremente.
Relación con la amabilidad
Entre todas las variedades cerradas con curvatura seccional no positiva , las variedades planas se caracterizan precisamente como aquellas con un grupo fundamental susceptible .
Esto es una consecuencia del teorema de Adams- Ballmann (1998), [1] que establece esta caracterización en el marco mucho más general de los grupos discretos cocompactos de isometrías de los espacios de Hadamard . Esto proporciona una generalización de gran alcance del teorema de Bieberbach .
El supuesto de discreción es esencial en el teorema de Adams-Ballmann: de lo contrario, la clasificación debe incluir espacios simétricos , edificios Bruhat-Tits y árboles Bass-Serre en vista del teorema "indiscreto" de Bieberbach de Caprace- Monod . [2]
Ver también
Referencias
- Bieberbach, L. (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi : 10.1007 / BF01564500.
- Bieberbach, L. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich" , Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi : 10.1007 / BF01456724.
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial. Vol. I (Reimpresión de la edición original de 1963), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., págs. 209–224, ISBN 0-471-15733-3
- Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner.
- Vinberg, EB (2001) [1994], "Grupo cristalográfico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Colector plano" . MathWorld .
Referencias
- ^ Adams, S .; Ballmann, W. (1998). "Grupos de isometría susceptibles de ser tratados de espacios de Hadamard". Matemáticas. Ann . 312 (1): 183-195.
- ^ Caprace, P.-E .; Monod, N. (2015). "Un teorema de Bieberbach indiscreto: de grupos CAT (0) susceptibles a edificios de Tits". J. École Polytechnique . 2 : 333–383.