Colinealidad
En geometría , la colinealidad de un conjunto de puntos es propiedad de que se encuentren en una sola línea . [1] Se dice que un conjunto de puntos con esta propiedad es colineal (a veces se escribe colineal [2] ). En general, el término se ha utilizado para objetos alineados, es decir, cosas que están "en una línea" o "en una fila".
En cualquier geometría, se dice que el conjunto de puntos de una línea es colineal . En la geometría euclidiana, esta relación se visualiza intuitivamente mediante puntos que se encuentran en una fila en una "línea recta". Sin embargo, en la mayoría de las geometrías (incluida la euclidiana), una línea suele ser un tipo de objeto primitivo (indefinido) , por lo que tales visualizaciones no serán necesariamente apropiadas. Un modelo para la geometría ofrece una interpretación de cómo los puntos, líneas y otros tipos de objetos se relacionan entre sí y una noción como colinealidad debe interpretarse dentro del contexto de ese modelo. Por ejemplo, en geometría esférica, donde las líneas están representadas en el modelo estándar por grandes círculos de una esfera, los conjuntos de puntos colineales se encuentran en el mismo gran círculo. Tales puntos no se encuentran en una "línea recta" en el sentido euclidiano, y no se piensa que estén en una fila .
Un mapeo de una geometría a sí mismo que envía líneas a líneas se llama colineación ; conserva la propiedad de colinealidad. Los mapas lineales (o funciones lineales) de espacios vectoriales , vistos como mapas geométricos, asignan líneas a líneas; es decir, mapean conjuntos de puntos colineales a conjuntos de puntos colineales y, por lo tanto, son colineaciones. En geometría proyectiva, estas asignaciones lineales se denominan homografías y son solo un tipo de colineación.
En geometría de coordenadas , en el espacio n -dimensional, un conjunto de tres o más puntos distintos son colineales si y solo si, la matriz de las coordenadas de estos vectores es de rango 1 o menos. Por ejemplo, dados tres puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ), si la matriz
De manera equivalente, para cada subconjunto de tres puntos X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) y Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ), si la matriz
es de rango 2 o menos, los puntos son colineales. En particular, para tres puntos en el plano ( n = 2), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero; dado que ese determinante de 3 × 3 es más o menos dos veces el área de un triángulo con esos tres puntos como vértices, esto es equivalente a la afirmación de que los tres puntos son colineales si y solo si el triángulo con esos puntos como vértices tiene área cero.
