En geometría proyectiva , una colineación es uno a uno y en un mapa (una biyección ) de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de modo que las imágenes de puntos colineales son colineales en sí mismas. Una colineación es, por tanto, un isomorfismo entre espacios proyectivos, o un automorfismo de un espacio proyectivo a sí mismo. Algunos autores restringen la definición de colineación al caso en que se trata de un automorfismo. [1] El conjunto de todas las colinaciones de un espacio en sí mismo forma un grupo, llamado grupo de colineación .
Definición
Simplemente, una colineación es un mapa uno a uno de un espacio proyectivo a otro, o de un espacio proyectivo a sí mismo, de modo que las imágenes de los puntos colineales son colineales en sí mismas. Se puede formalizar esto usando varias formas de presentar un espacio proyectivo. Además, el caso de la línea proyectiva es especial y, por lo tanto, generalmente se trata de manera diferente.
Álgebra lineal
Para un espacio proyectivo definido en términos de álgebra lineal (como la proyectivización de un espacio vectorial ), una colineación es un mapa entre los espacios proyectivos que preserva el orden con respecto a la inclusión de subespacios.
Formalmente, dejar que V sea un espacio vectorial sobre un campo K y W un espacio vectorial sobre un campo L . Considere la espacios proyectiva PG ( V ) y PG ( W ), que consiste en las líneas vectoriales de V y W . Llame D ( V ) y D ( W ) al conjunto de subespacios de V y W respectivamente. Una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es un mapa α: D ( V ) → D ( W ), tal que:
- α es una biyección.
- A ⊆ B ⇔ α ( A ) ⊆ α ( B ) para todo A , B en D ( V ). [2]
Axiomáticamente
Dado un espacio proyectivo definido axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L, y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas, satisfaciendo ciertos axiomas), una colineación entre espacios proyectivos así definidos entonces es un función biyectiva f entre los conjuntos de puntos y una función biyectiva g entre el conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia. [3]
Todo espacio proyectivo de dimensión mayor o igual a tres es isomorfo a la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división , por lo que en estas dimensiones esta definición no es más general que la lineal-algebraica anterior, pero en la dimensión dos hay otras. planos proyectivos, es decir, los planos no desarguesianos , y esta definición permite definir colinaciones en tales planos proyectivos.
Para la dimensión uno, el conjunto de puntos que se encuentran en una sola línea proyectiva define un espacio proyectivo, y la noción resultante de colineación es cualquier biyección del conjunto.
Colinaciones de la línea proyectiva
Para un espacio proyectivo de dimensión uno (una línea proyectiva; la proyectivización de un espacio vectorial de dimensión dos), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva. Esto es diferente del comportamiento en dimensiones superiores y, por lo tanto, se da una definición más restrictiva, especificada de modo que se mantenga el teorema fundamental de la geometría proyectiva .
En esta definición, cuando V tiene dimensión dos, una colineación de PG ( V ) a PG ( W ) es un mapa α : D ( V ) → D ( W ) , tal que:
- El subespacio cero de V se asigna al subespacio cero de W .
- V se asigna a W .
- Existe un mapa semilineal no singular β de V a W tal que, para todo v en V ,
Este último requisito asegura que todas las colinaciones sean mapas semilineales.
Tipos
Los principales ejemplos de colinaciones son las transformaciones lineales proyectivas (también conocidas como homografías ) y las colinaciones automórficas . Para los espacios proyectivos que provienen de un espacio lineal, el teorema fundamental de la geometría proyectiva establece que todas las colinaciones son una combinación de estas, como se describe a continuación.
Transformaciones lineales proyectivas
Las transformaciones lineales proyectivas (homografías) son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son lineales proyectivas. transformaciones. PGL es, en general, un subgrupo adecuado del grupo de colineación.
Colinaciones automórficas
Un La colineación automórfica es un mapa que, en coordenadas, es unautomorfismo de campoaplicado a las coordenadas.
Teorema fundamental de la geometría proyectiva
Si la dimensión geométrica de un espacio proyectivo papiano es al menos 2, entonces cada colineación es el producto de una homografía (una transformación lineal proyectiva) y una colineación automórfica. Más precisamente, el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , que es el producto semidirecto de homografías por colineaciones automórficas.
En particular, las colinaciones de PG (2, R ) son exactamente las homografías, ya que R no tiene automorfismos no triviales (es decir, Gal ( R / Q ) es trivial).
Suponga que φ es un mapa semilineal no singular de V a W , con la dimensión de V al menos tres. Defina α : D ( V ) → D ( W ) diciendo que Z α = { φ ( z ): z ∈ Z } para todo Z en D ( V ). Como φ es semilineal, se comprueba fácilmente que este mapa está correctamente definido y, además, como φ no es singular, es biyectivo. Ahora es obvio que α es una colineación. Decimos que α es inducida por φ .
El teorema fundamental de la geometría proyectiva establece lo contrario:
Suponga que V es un espacio vectorial sobre un campo K con una dimensión de al menos tres, W es un espacio vectorial sobre un campo L y α es una colineación de PG ( V ) a PG ( W ). Esto implica que K y L son campos isomorfos, V y W tienen la misma dimensión y hay un mapa semilineal φ tal que φ induce α .
Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL - este es PGL, retorcido por automorfismos de campo ; Formalmente, el producto semidirecto PΓL ≅ PGL ⋊ Gal ( K / k ) , donde k es el campo prime para K .
Estructura lineal
Por tanto, para K un campo primo ( o ), tenemos PGL = PΓL , pero para K no es un campo principal (como o para n ≥ 2 ), el grupo lineal proyectiva es en general un subgrupo adecuado del grupo colineación, que puede ser pensado como "transformaciones preservar un proyectiva semi estructura -linear". En consecuencia, el grupo de cocientes PΓL / PGL ≅ Gal ( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente. Dado un espacio proyectivo sin una identificación como proyectivización de un espacio lineal, no existe un isomorfismo natural entre el grupo de colineación y P ,L, y la elección de una estructura lineal (realización como proyectivización de un espacio lineal) corresponde a una elección del subgrupo PGL γl , estas elecciones forman un torsor sobre Gal ( K / k ).
Historia
La idea de una línea se abstrajo a una relación ternaria determinada por la colinealidad (puntos que se encuentran en una sola línea). Según Wilhelm Blaschke [4] fue August Möbius quien primero abstrajo esta esencia de transformación geométrica:
- ¿Qué significan ahora nuestras transformaciones geométricas? Möbius descartó y respondió esta pregunta ya en su Cálculo baricéntrico (1827). Allí se habló no de transformaciones pero de permutaciones [Verwandtschaften], cuando dichos dos elementos extraídos de un dominio se permutan cuando fueron intercambiados por una ecuación arbitraria. En nuestro caso particular, ecuaciones lineales entre coordenadas de puntos homogéneos, Möbius llamó a una permutación [Verwandtschaft] de ambos espacios de puntos en particular una colineación . Chasles cambiaría más tarde este significado por el de homografía . La expresión de Moebius se comprende inmediatamente cuando seguimos a Moebius al llamar a puntos colineales cuando se encuentran en la misma línea. La designación de Möbius se puede expresar diciendo, los puntos colineales se mapean mediante una permutación a puntos colineales, o en el habla simple, las líneas rectas permanecen rectas.
Los matemáticos contemporáneos ven la geometría como una estructura de incidencia con un grupo de automorfismo que consiste en mapeos del espacio subyacente que preservan la incidencia . Tal mapeo permuta las líneas de la estructura de incidencia y persiste la noción de colineación.
Como mencionaron Blaschke y Klein, Michel Chasles prefirió el término homografía a colineación . Una distinción entre los términos surgió cuando se aclaró la distinción entre el plano proyectivo real y la línea proyectiva compleja . Dado que no hay automorfismos de campo no triviales del campo de números reales , todas las colinaciones son homografías en el plano proyectivo real, [5] sin embargo, debido al automorfismo de campo de la conjugación compleja , no todas las colinaciones de la línea proyectiva compleja son homografías. En aplicaciones como la visión por computadora, donde el campo subyacente es el campo del número real, la homografía y la colineación se pueden usar indistintamente.
Antihomografía
La operación de tomar el conjugado complejo en el plano complejo equivale a una reflexión en la línea real . Con la notación z ∗ para el conjugado de z , una anti-homografía viene dada por
Así, una anti-homografía es la composición de conjugación con una homografía , y por tanto es un ejemplo de colineación que no es una homografía. Por ejemplo, geométricamente, el mapeoequivale a la inversión del círculo . [6] Las transformaciones de la geometría inversa del plano se describen con frecuencia como la colección de todas las homografías y antihomografías del plano complejo. [7]
Notas
- ↑ Por ejemplo, Beutelspacher & Rosenbaum 1998 , p.21, Casse 2006 , p. 56 y Yale 2004 , pág. 226
- ^ Los geómetros todavía usan comúnmente una notación de tipo exponencial para funciones y esta condición a menudo aparecerá como A ⊆ B ⇔ A α ⊆ B α para todo A , B en D ( V ).
- ^ "Preservar la relación de incidencia" significa que si el punto p está en la línea l, entonces f ( p ) está en g ( l ) ; formalmente, si ( p , l ) ∈ I entonces ( f ( p ), g ( l )) ∈ I ′ .
- ↑ Felix Klein (1926, 1949) Vorlesungen über Höhere Geometrie , editado por Blaschke, Seite 138
- ^ Casse , 2006 , p. 64, Corolario 4.29
- ^ Morley y Morley , 1933 , p. 38
- ^ Blair 2000 , p. 43 ; Schwerdtfeger , 2012 , pág. 42 .
Referencias
- Beutelspacher, Albrecht ; Rosenbaum, Ute (1998), Geometría proyectiva / De los fundamentos a las aplicaciones , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48364-6
- Blair, David E. (2000), Teoría de inversión y mapeo conformal , Biblioteca matemática para estudiantes, 9 , Sociedad matemática estadounidense, ISBN 9780821826362
- Blaschke, Wilhelm (1948), Geometrie proyectiva , Wolfenbütteler Verlagsanstalt
- Casse, Rey (2006), Geometría proyectiva / Introducción , Oxford University Press, ISBN 9780199298860
- Morley, Frank ; Morley, FV (1933), Geometría inversora , Londres: G. Bell and Sons
- Schwerdtfeger, Hans (2012), Geometría de números complejos , Publicaciones de Courier Dover, ISBN 9780486135861
- Yale, Paul B. (2004) [publicado por primera vez en 1968], Geometry and Symmetry , Dover, ISBN 0-486-43835-X
enlaces externos
- proyectividad en PlanetMath .