El teorema de Commandino , llamado así por Federico Commandino (1509-1575), establece que las cuatro medianas de un tetraedro son concurrentes en un punto S , que las divide en una proporción de 3: 1. En un tetraedro, una mediana es un segmento de línea que conecta un vértice con el centroide de la cara opuesta , es decir, el centroide del triángulo opuesto. El punto S también es el centroide del tetraedro. [1] [2] [3]
Historia
El teorema se atribuye a Commandino, quien afirmó, en su obra De Centro Gravitatis Solidorum (El centro de gravedad de los sólidos, 1565), que las cuatro medianas del tetraedro son concurrentes. Sin embargo, según el erudito del siglo XIX Guillaume Libri, Francesco Maurolico (1494-1575) afirmó haber encontrado el resultado antes. Sin embargo, Libri pensó que Leonardo da Vinci lo había conocido incluso antes , quien parecía haberlo utilizado en su trabajo. Julian Coolidge compartió esa evaluación, pero señaló que no pudo encontrar ninguna descripción explícita o tratamiento matemático del teorema en las obras de da Vinci. [4] Otros estudiosos han especulado que los matemáticos griegos ya conocían el resultado durante la antigüedad. [5]
Generalizaciones
El teorema de Commandino tiene un análogo directo para los símplex de cualquier dimensión : [6]
- Dejar ser un -simplex de alguna dimensión en y deja sean sus vértices. Además, deja , sean las medianas de , las líneas que unen cada vértice con el centroide del opuesto dimensional faceta. Entonces, estas líneas se cruzan en un punto , en una proporción de .
Generalidad completa
El primer análogo es fácil de probar mediante el siguiente resultado más general, que es análogo a la forma en que funcionan las palancas en física: [7]
- Dejar y ser números naturales , de modo que en un - espacio vectorial, puntos diferentes por parejas son dados.
- Dejar ser el centroide de los puntos , dejar ser el centroide de los puntos , y deja ser el centroide de todos estos puntos.
- Entonces, uno tiene
- En particular, el centroide yace en la linea y lo divide en una proporción de .
Teorema de Reusch
El teorema anterior tiene otras consecuencias interesantes además de la generalización antes mencionada del teorema de Commandino. Puede usarse para demostrar el siguiente teorema sobre el centroide de un tetraedro, descrito por primera vez en el Mathematische Unterhaltungen por el físico alemán Friedrich Eduard Reusch : [8] [9]
- Uno puede encontrar el centroide de un tetraedro tomando los puntos medios de dos pares de dos de sus bordes opuestos y conectando los puntos medios correspondientes a través de su línea media respectiva. El punto de intersección de ambas líneas medias será el centroide del tetraedro.
Dado que un tetraedro tiene seis aristas en tres pares opuestos, se obtiene el siguiente corolario: [8]
- En un tetraedro, las tres líneas medias correspondientes a los puntos medios del borde opuesto son concurrentes , y su punto de intersección es el centroide del tetraedro.
Teorema de varignon
Un caso específico del teorema de Reusch donde los cuatro vértices de un tetraedro son coplanares y se encuentran en un solo plano, degenerando así en un cuadrilátero , el teorema de Varignon, llamado así por Pierre Varignon , establece lo siguiente: [10] [11]
- Sea un cuadrilátero en ser dado. Luego, las dos líneas medias que conectan los puntos medios de los bordes opuestos se cruzan en el centroide del cuadrilátero y se dividen por la mitad.
Referencias
- ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI . The Mathematical Association of America, 2015, ISBN 9780883853580 , págs. 97–98
- ^ Nathan Altshiller-Court: el tetraedro y su paralelo circunscrito . El profesor de matemáticas, vol. 26, núm. 1 (ENERO DE 1933), págs. 46–52 ( JSTOR )
- ^ Norman Schaumberger: teorema de Commandino . The Two-Year College Mathematics Journal, vol. 13, núm. 5 (noviembre de 1982), pág. 331 ( JSTOR )
- ^ Nathan Altshiller Court: Notas sobre el centroide . El profesor de matemáticas, vol. 53, núm. 1 (ENERO DE 1960), págs.34 ( JSTOR )
- ↑ Howard Eves: Great Moments in Mathematics (antes de 1650) . MAA, 1983, ISBN 9780883853108 , pág. 225
- ^ Egbert Harzheim (1978). Einführung in die kombinatorische Topologie (en alemán). Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft. pag. 33. ISBN 3-534-07016-X.
- ^ Egbert Harzheim (1978), Einführung in die Kombinatorische Topologie (en alemán), Darmstadt, p. 31, ISBN 3-534-07016-X
- ↑ a b Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft. 1973, S. 100, 128
- ^ In den Mathematische Unterhaltungen (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung Der Spitzbogen verwiesen.
- ^ Coxeter, op. cit., pág. 242
- ^ DUDEN: Rechnen und Mathematik. 1985, pág. 652
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de Commandino" . MathWorld .
- Un par de agradables extensiones de las propiedades medias