En geometría , una arista es un tipo particular de segmento de línea que une dos vértices en un polígono , poliedro o politopo de mayor dimensión . [1] En un polígono, un borde es un segmento de línea en el límite, [2] y a menudo se le llama lado . En un poliedro o más generalmente un politopo, un borde es un segmento de línea donde se encuentran dos caras . [3] Un segmento que une dos vértices mientras pasa por el interior o el exterior no es un borde, sino que se llama diagonal .
Un polígono está delimitado por aristas; este cuadrado tiene 4 aristas.
Cada borde es compartido por tres o más caras en un politopo 4 , como se ve en esta proyección de un tesseract .
- Para obtener información sobre el borde en la teoría de grafos , consulte Borde (teoría de grafos)
Relación con los bordes en los gráficos
En la teoría de grafos , una arista es un objeto abstracto que conecta dos vértices de grafo , a diferencia de las aristas de polígono y poliedro que tienen una representación geométrica concreta como un segmento de línea. Sin embargo, cualquier poliedro puede ser representado por su esqueleto o arista-esqueleto, un gráfico cuyos vértices son los vértices geométricos del poliedro y cuyas aristas corresponden a las aristas geométricas. [4] A la inversa, las gráficas que son esqueletos de poliedros tridimensionales pueden caracterizarse por el teorema de Steinitz como exactamente las gráficas planas conectadas a 3 vértices . [5]
Número de aristas en un poliedro
La superficie de cualquier poliedro convexo tiene la característica de Euler
donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras . Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por tanto, el número de aristas es 2 menos que la suma del número de vértices y caras. Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices y 6 caras y, por tanto, 12 aristas.
Incidencias con otras caras
En un polígono, dos aristas se encuentran en cada vértice; más generalmente, según el teorema de Balinski , al menos d aristas se encuentran en cada vértice de un politopo convexo d -dimensional. [6] De manera similar, en un poliedro, exactamente dos caras bidimensionales se encuentran en cada borde, [7] mientras que en politopos de dimensiones superiores tres o más caras bidimensionales se encuentran en cada borde.
Terminología alternativa
En la teoría de los politopos convexos de alta dimensión , una faceta o lado de un politopo d - dimensional es una de sus características ( d - 1) -dimensionales, una cresta es una característica ( d - 2) -dimensional, y un pico es una característica ( d - 3) -dimensional. Por lo tanto, los bordes de un polígono son sus facetas, los bordes de un poliedro convexo tridimensional son sus crestas y los bordes de un politopo de 4 dimensiones son sus picos. [8]
Ver también
- Lado extendido
Referencias
- ^ Ziegler, Günter M. (1995), Conferencias sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas , 152 , Springer, Definición 2.1, p. 51.
- ^ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html
- ^ Senechal, Marjorie (2013), Dar forma al espacio: exploración de poliedros en la naturaleza, el arte y la imaginación geométrica , Springer, p. 81, ISBN 9780387927145.
- ^ Pisanski, Tomaž ; Randić, Milán (2000), "Puentes entre geometría y teoría de grafos", en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry at work , MAA Notes, 53 , Washington, DC: Math. Assoc. America, págs. 174-194, MR 1782654. Ver en particular el Teorema 3, p. 176 .
- ^ Balinski, ML (1961), "Sobre la estructura gráfica de poliedros convexos en n- espacio" , Pacific Journal of Mathematics , 11 (2): 431–434, doi : 10.2140 / pjm.1961.11.431 , MR 0126765.
- ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models , Cambridge University Press, pág. 1, ISBN 9780521098595.
- ^ Seidel, Raimund (1986), "La construcción de cascos convexas de dimensiones superiores a coste logarítmica por cara", Actas del Simposio ACM Decimoctava anual sobre Teoría de la Computación (STOC '86) , pp 404-413,. Doi : 10.1145 / 12130,12172.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Borde poligonal" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Borde poliédrico" . MathWorld .