En álgebra abstracta , una rama de las matemáticas , un monoide es un conjunto equipado con una operación binaria asociativa y un elemento de identidad .
Los monoides son semigrupos con identidad. Tales estructuras algebraicas ocurren en varias ramas de las matemáticas.
Por ejemplo, las funciones de un conjunto en sí mismo forman un monoide con respecto a la composición de funciones. De manera más general, en la teoría de categorías , los morfismos de un objeto en sí mismo forman un monoide y, a la inversa, un monoide puede verse como una categoría con un solo objeto.
En ciencias de la computación y programación de computadoras , el conjunto de cadenas construido a partir de un conjunto dado de caracteres es un monoide libre . Los monoides de transición y los monoides sintácticos se utilizan para describir máquinas de estados finitos . Los monoides de seguimiento y los monoides históricos proporcionan una base para los cálculos de procesos y la computación concurrente .
En informática teórica , el estudio de los monoides es fundamental para la teoría de autómatas ( teoría de Krohn-Rhodes ) y la teoría del lenguaje formal ( problema de la altura de las estrellas ).
Consulte Semigroup para conocer la historia del tema y algunas otras propiedades generales de los monoides.
Definición
Un conjunto S equipado con una operación binaria S × S → S , que denotaremos •, es un monoide si satisface los dos axiomas siguientes:
- Asociatividad
- Para todos un , b y c en S , la ecuación ( una • b ) • c = un • ( b • c ) se mantiene.
- Elemento de identidad
- Existe un elemento e en S tal que para cada elemento de una en S , las ecuaciones e • un = un y un • e = una bodega.
En otras palabras, un monoide es un semigrupo con un elemento de identidad . También se puede pensar en un magma con asociatividad e identidad. El elemento de identidad de un monoide es único. [1] Por esta razón, la identidad se considera una operación constante , es decir, 0-aria (o nulary). Por tanto, el monoide se caracteriza por la especificación del triple ( S , •, e ).
Dependiendo del contexto, el símbolo de la operación binaria puede omitirse, de modo que la operación se denota por yuxtaposición; por ejemplo, los axiomas monoides pueden escribirse ( ab ) c = a ( bc ) y ea = ae = a . Esta notación no implica que se estén multiplicando números.
Un monoide en el que cada elemento tiene una inversa es un grupo .
Estructuras monoides
Submonoides
A submonoide de un monoide ( M , •) es un subconjunto N de M que está cerrada bajo la operación monoid y contiene el elemento de identidad e de M . [2] [3] Simbólicamente, N es un submonoide de M si N ⊆ M , x • y ∈ N siempre que x , y ∈ N , y e ∈ N . En este caso, N es un monoide bajo la operación binaria heredado de M .
Por otro lado, si N es un subconjunto de un monoide que está cerrado bajo la operación monoide, y es un monoide para esta operación heredada, entonces N no siempre es un submonoide, ya que los elementos de identidad pueden diferir. Por ejemplo, el conjunto de singleton {0} se cierra con la multiplicación y no es un submonoide del monoide (multiplicativo) de los enteros no negativos .
Generadores
Un subconjunto S de M se dice que generar M si el submonoide más pequeño de M que contiene S es M . Si hay un conjunto finito que genera M , entonces se dice que M es un monoide generado finitamente .
Monoide conmutativo
Un monoide cuya operación es conmutativa se denomina monoide conmutativo (o, con menos frecuencia, monoide abeliano ). Los monoides conmutativos a menudo se escriben de forma aditiva. Cualquier monoide conmutativo está dotado de su preorden algebraico ≤ , definido por x ≤ y si existe z tal que x + z = y . [4] Una unidad de orden de un monoide conmutativo M es un elemento u de M tal que para cualquier elemento x de M , existe v en el conjunto generado por u tal que x ≤ v . Esto se utiliza a menudo en caso de que M es el cono positivo de un parcialmente ordenado grupo abeliano G , en cuyo caso se dice que u es una orden-unidad de G .
Monoide parcialmente conmutativo
Un monoide para el que la operación es conmutativa para algunos, pero no todos los elementos, es un monoide traza ; trazas de monoides ocurren comúnmente en la teoría del cálculo concurrente .
Ejemplos de
- De los 16 posibles operadores booleanos binarios , cada uno de los cuatro que tiene una identidad de dos lados también es conmutativo y asociativo y, por lo tanto, hace que el conjunto {Falso, Verdadero} sea un monoide conmutativo. Según las definiciones estándar, AND y XNOR tienen la identidad Verdadero, mientras que XOR y OR tienen la identidad Falso. Los monoides de AND y OR también son idempotentes, mientras que los de XOR y XNOR no lo son.
- El conjunto de números naturales es un monoide conmutativo bajo adición (elemento de identidad 0 ) o multiplicación (elemento de identidad 1 ). Un submonoide de N bajo adición se denomina monoide numérico .
- El conjunto de enteros positivos es un monoide conmutativo bajo multiplicación (elemento de identidad 1).
- Dado un conjunto A , el conjunto de subconjuntos de A es un monoide conmutativo bajo intersección (el elemento de identidad es el propio A ).
- Dado un conjunto A , el conjunto de subconjuntos de A es un monoide conmutativo bajo unión (el elemento de identidad es el conjunto vacío ).
- Generalizando el ejemplo anterior, cada semirretículo acotado es un monoide conmutativo idempotente .
- En particular, cualquier celosía acotada puede estar dotada de una estructura monoide de encuentro y de unión . Los elementos de identidad son la parte superior e inferior de la celosía, respectivamente. Al ser retículas, las álgebras de Heyting y las álgebras booleanas están dotadas de estas estructuras monoides.
- Cada conjunto singleton { x } cerrado bajo una operación binaria • forma el monoide trivial (un elemento), que también es el grupo trivial .
- Cada grupo es un monoide y cada grupo abeliano es un monoide conmutativo.
- Cualquier semigrupo S puede ser convertido en un monoide simplemente un elemento contiguo correo no en S y definir e • s = s = s • e para todos s ∈ S . Esta conversión de cualquier semigrupo al monoide se realiza mediante el functor libre entre la categoría de semigrupos y la categoría de monoides. [5]
- Por lo tanto, un monoid idempotente (a veces conocido como hallazgo-primero ) puede estar formada por un elemento contiguo de identidad e a la izquierda cero semigrupo sobre un conjunto S . El monoide opuesto (a veces llamado hallazgo en último lugar ) se forma a partir del derecho semigrupo cero sobre S .
- Adjunte una identidad e al semigrupo de cero a la izquierda con dos elementos {lt, gt} . Entonces, el monoide idempotente resultante {lt, e , gt} modela el orden lexicográfico de una secuencia dados los órdenes de sus elementos, donde e representa la igualdad.
- Por lo tanto, un monoid idempotente (a veces conocido como hallazgo-primero ) puede estar formada por un elemento contiguo de identidad e a la izquierda cero semigrupo sobre un conjunto S . El monoide opuesto (a veces llamado hallazgo en último lugar ) se forma a partir del derecho semigrupo cero sobre S .
- El conjunto subyacente de cualquier anillo , con la suma o la multiplicación como operación. (Por definición, un anillo tiene una identidad multiplicativa 1.)
- Los números enteros , números racionales , números reales o números complejos , con adición o la multiplicación como operación. [6]
- El conjunto de todas las matrices de n por n sobre un anillo dado, con la adición de matrices o la multiplicación de matrices como operación.
- El conjunto de todas las cadenas finitas sobre algún alfabeto fijo Σ forma un monoide con la concatenación de cadenas como operación. La cadena vacía sirve como elemento de identidad. Este monoide se denota Σ ∗ y se llama monoide libre sobre Σ .
- Dado cualquier monoide M , el monoide opuesto M op tiene el mismo conjunto de portadores y elemento de identidad que M , y su funcionamiento está definido por x • op y = y • x . Cualquier monoide conmutativo es el monoide opuesto a sí mismo.
- Dados dos conjuntos M y N dotados de estructura monoide (o, en general, cualquier número finito de monoides, M 1 ,…, M k ) , su producto cartesiano M × N también es un monoide (respectivamente, M 1 × ⋯ × M k ). La operación asociativa y el elemento de identidad se definen por pares. [7]
- Fijar un monoide M . El conjunto de todas las funciones de un conjunto dado a M también es un monoide. El elemento de identidad es una función constante que asigna cualquier valor a la identidad de M ; la operación asociativa se define puntualmente .
- Fijar un monoide M con la operación • y elemento de identidad electrónico , y considerar su conjunto potencia P ( M ) que consta de todos los subconjuntos de M . Una operación binaria para tales subconjuntos se puede definir mediante S • T = { s • t : s ∈ S , t ∈ T } . Esto convierte a P ( M ) en un monoide con elemento de identidad { e } . De la misma manera, el conjunto de potencias de un grupo G es un monoide bajo el producto de subconjuntos de grupos .
- Sea S un conjunto. El conjunto de todas las funciones S → S forma un monoide bajo composición de función . La identidad es solo la función de identidad . También se le llama el monoide plena transformación de S . Si S es finito con n elementos, el monoide de funciones en S es finito con n n elementos.
- Generalizando el ejemplo anterior, deje C sea una categoría y X un objeto de C . El conjunto de todos los endomorfismos de X , denominado Extremo C ( X ) , forma un monoide bajo composición de morfismos . Para obtener más información sobre la relación entre la teoría de categorías y los monoides, consulte a continuación.
- El conjunto de clases de homeomorfismo de superficies compactas con la suma conectada . Su elemento unitario es la clase de las 2 esferas ordinarias. Además, si a denota la clase del toro y b denota la clase del plano proyectivo, entonces cada elemento c del monoide tiene una expresión única de la forma c = na + mb donde n es un número entero positivo ym = 0, 1 o 2 . Tenemos 3 b = a + b .
- Dejar ser un monoide cíclico de orden n , es decir,. Luego para algunos . De hecho, cada uno de estos k da un monoide distinto de orden n , y cada monoide cíclico es isomorfo a uno de estos.
Además, f puede considerarse una función de los puntos dada por
- o equivalente
- Multiplicación de elementos en entonces viene dada por la composición de funciones.
- Cuándo entonces la función f es una permutación de y da el grupo cíclico único de orden n .
Propiedades
Los axiomas monoides implican que el elemento de identidad e es único: Si e y f son elementos de identidad de un monoide, entonces e = ef = f .
Productos y poderes
Para cada entero no negativo n , se puede definir el producto de cualquier secuencia de n elementos de un monoide de forma recursiva: sea p 0 = e y sea p m = p m −1 • a m para 1 ≤ m ≤ n .
Como caso especial, se pueden definir potencias enteras no negativas de un elemento x de un monoide: x 0 = 1 y x n = x n −1 • x para n ≥ 1 . Entonces x m + n = x m • x n para todo m , n ≥ 0 .
Elementos invertibles
Un elemento x se llama invertible si existe un elemento y tal que x • y = e y y • x = e . El elemento y se llama inverso de x . Los inversos, si existen, son únicos: si y y z son inversos de x , entonces por asociatividad y = ey = ( zx ) y = z ( xy ) = ze = z . [8]
Si x es invertible, digamos con y inversa , entonces se pueden definir potencias negativas de x estableciendo x - n = y n para cada n ≥ 1 ; esto hace que la ecuación x m + n = x m • x n asimiento para todos m , n ∈ Z .
El conjunto de todos los elementos invertibles en un monoide, junto con la operación •, forma un grupo .
Construcción del grupo Grothendieck
No todos los monoides se encuentran dentro de un grupo. Por ejemplo, es perfectamente posible tener un monoid en el que dos elementos a y b tal manera que existen una • b = un mantiene a pesar de que b no es el elemento identidad. Tal monoide no se puede incrustar en un grupo, porque en el grupo podríamos multiplicar ambos lados con el inverso de a y obtendríamos que b = e , lo cual no es cierto. Un monoide ( M , •) tiene la propiedad de cancelación (o es cancellative ) si para todo un , b y c en M , un • b = un • c implica siempre b = c y b • un = c • un implica siempre b = c . Un monoide conmutativo con la propiedad de cancelación siempre se puede incrustar en un grupo a través de la construcción de Grothendieck . Así es como se construye el grupo aditivo de los enteros (un grupo con operación +) a partir del monoide aditivo de números naturales (un monoide conmutativo con operación + y propiedad de cancelación). Sin embargo, no es necesario que un monoide cancelador no conmutativo pueda integrarse en un grupo.
Si un monoide tiene la propiedad de cancelación y es finito , de hecho es un grupo. Prueba: arregla un elemento x en el monoide. Dado que el monoide es finito, x n = x m para algunos m > n > 0 . Pero luego, por cancelación tenemos que x m - n = e donde e es la identidad. Por lo tanto, x • x m - n - 1 = e , entonces x tiene una inversa.
Los elementos canceladores de derecha e izquierda de un monoide forman cada uno a su vez un submonoide (es decir, obviamente incluyen la identidad y no tan obviamente están cerrados bajo la operación). Esto significa que los elementos canceladores de cualquier monoide conmutativo pueden extenderse a un grupo.
Resulta que no es necesario exigir la propiedad de cancelación en un monoide para realizar la construcción de Grothendieck; la conmutatividad es suficiente. Sin embargo, si el monoide original tiene un elemento absorbente, entonces su grupo Grothendieck es el grupo trivial. Por tanto, el homomorfismo es, en general, no inyectivo.
Tipos de monoides
Un monoide inverso es un monoide donde por cada a en M , existe un único a −1 en M tal que a = a • a −1 • a y a −1 = a −1 • a • a −1 . Si un monoide inverso es cancelador, entonces es un grupo.
En la dirección opuesta, un monoid zerosumfree es un monoid aditivamente escrita en la que un + b = 0 implica que un = 0 y b = 0 : [9] de manera equivalente, que ningún elemento distinto de cero tiene una inversa aditivo.
Actos y monoides de operador
Sea M un monoide, con la operación binaria denotada por • y el elemento de identidad denotado por e . A continuación, un (izquierda) M -act (o acto izquierda sobre M ) es un conjunto X junto con una operación ⋅: M × X → X que es compatible con la estructura monoid como sigue:
- para todo x en X : e ⋅ x = x ;
- para todo a , b en M y x en X : a ⋅ ( b ⋅ x ) = ( a • b ) ⋅ x .
Este es el análogo en la teoría monoide de una acción de grupo (izquierda) . Derecha M Hechos se definen de manera similar. Un monoide con un acto también se conoce como monoide operador . Los ejemplos importantes incluyen sistemas de transición de semiautomas . Un semigrupo de transformación se puede convertir en un operador monoide adjuntando la transformación de identidad.
Homomorfismos monoides
Un homomorfismo entre dos monoides ( M , ∗) y ( N , •) es una función f : M → N tal que
- f ( x ∗ y ) = f ( x ) • f ( y ) para todo x , y en M
- f ( e M ) = e N ,
donde e M y e N son las identidades en M y N respectivamente. Los homomorfismos monoides a veces se denominan simplemente morfismos monoides .
No todo homomorfismo de semigrupo entre monoides es un homomorfismo de monoide, ya que es posible que no mapee la identidad con la identidad del monoide objetivo, aunque la identidad sea la identidad de la imagen del homomorfismo. [10] Por ejemplo, considere, el conjunto de clases de residuos móduloequipado con multiplicación. En particular, la clase dees la identidad. Función dada por es un homomorfismo de semigrupo como en . Sin emabargo,, por lo que un homomorfismo de monoide es un homomorfismo de semigrupo entre monoides que mapea la identidad del primer monoide con la identidad del segundo monoide y la última condición no puede omitirse.
En contraste, un homomorfismo de semigrupo entre grupos es siempre un homomorfismo de grupo , ya que necesariamente preserva la identidad (porque, en un grupo, la identidad es el único elemento tal que x ⋅ x = x ).
Un homomorfismo monoide biyectivo se denomina isomorfismo monoide . Se dice que dos monoides son isomorfos si hay un isomorfismo monoide entre ellos.
Presentación ecuacional
A los monoides se les puede dar una presentación , de la misma manera que los grupos se pueden especificar por medio de una presentación grupal . Se hace esto especificando un conjunto de generadores Σ y un conjunto de relaciones en el monoide libre Σ ∗ . Uno hace esto extendiendo relaciones binarias (finitas) en Σ ∗ a congruencias de monoides, y luego construyendo el cociente monoide, como arriba.
Dada una relación binaria R ⊂ Σ ∗ × Σ ∗ , se define su cierre simétrico como R ∪ R −1 . Esto se puede extender a una relación simétrica E ⊂ Σ ∗ × Σ ∗ definiendo x ~ E y si y solo si x = sut y y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ∗ con ( u , v ) ∈ R ∪ R −1 . Finalmente, se toma el cierre reflexivo y transitivo de E , que es entonces una congruencia monoide.
En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que. Así, por ejemplo,
es la presentación ecuacional del monoide bicíclico , y
es el monoide plástico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plástico pueden escribirse comopara los números enteros i , j , k , como las relaciones muestran que ba conmuta con tanto una y b .
Relación con la teoría de categorías
Estructuras de tipo grupal | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalidad α | Asociatividad | Identidad | Invertibilidad | Conmutatividad | |
Semigropoide | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Categoría pequeña | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Groupoid | Innecesario | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Magma | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Cuasigrupo | Requerido | Innecesario | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Magma unital | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Círculo | Requerido | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario |
Semigroup | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Semigroup inverso | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Monoide | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Monoide conmutativo | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido |
Grupo | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Grupo abeliano | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido |
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente. |
Los monoides pueden verse como una clase especial de categorías . De hecho, los axiomas requeridos de una operación monoide son exactamente los requeridos de la composición de morfismos cuando se restringen al conjunto de todos los morfismos cuya fuente y objetivo es un objeto dado. [11] Es decir,
- Un monoide es, esencialmente, lo mismo que una categoría con un solo objeto.
Más precisamente, dado un monoide ( M , •) , se puede construir una pequeña categoría con sólo un objeto y cuya morfismos son los elementos de M . La composición de los morfismos viene dada por la operación monoide •.
Del mismo modo, los homomorfismos de monoides son solo functores entre categorías de objetos individuales. [11] Así que esta construcción da una equivalencia entre la categoría de (pequeños) monoides Mon y una subcategoría completa de la categoría de (pequeñas) categorías Cat . Del mismo modo, la categoría de grupos es equivalente a otra subcategoría completa de Cat .
En este sentido, la teoría de categorías puede pensarse como una extensión del concepto de monoide. Muchas definiciones y teoremas sobre monoides se pueden generalizar a categorías pequeñas con más de un objeto. Por ejemplo, un cociente de una categoría con un objeto es solo un cociente monoide.
Los monoides, al igual que otras estructuras algebraicas, también forman su propia categoría, Mon , cuyos objetos son monoides y cuyos morfismos son homomorfismos monoides. [11]
También existe una noción de objeto monoide que es una definición abstracta de lo que es un monoide en una categoría. Un objeto monoide en Set es solo un monoide.
Monoides en informática
En informática, muchos tipos de datos abstractos pueden estar dotados de una estructura monoide. En un patrón común, una secuencia de elementos de un monoide se " dobla " o "acumula" para producir un valor final. Por ejemplo, muchos algoritmos iterativos necesitan actualizar algún tipo de "total acumulado" en cada iteración; este patrón puede expresarse elegantemente mediante una operación monoide. Alternativamente, la asociatividad de las operaciones monoide asegura que la operación se pueda paralelizar empleando una suma de prefijo o un algoritmo similar, con el fin de utilizar múltiples núcleos o procesadores de manera eficiente.
Dada una secuencia de valores de tipo M con elemento de identidad y operación asociativa , la operación de plegado se define de la siguiente manera:
Además, cualquier estructura de datos se puede 'plegar' de manera similar, dada una serialización de sus elementos. Por ejemplo, el resultado de "plegar" un árbol binario puede diferir según el recorrido del árbol de preorden o postorden .
Mapa reducido
Una aplicación de los monoides en ciencias de la computación es el llamado modelo de programación MapReduce (ver Codificación de Map-Reduce como un monoide con plegado a la izquierda ). MapReduce, en informática, consta de dos o tres operaciones. Dado un conjunto de datos, "Mapa" consiste en mapear datos arbitrarios a elementos de un monoide específico. "Reducir" consiste en plegar esos elementos, de modo que al final produzcamos un solo elemento.
Por ejemplo, si tenemos un multiset , en un programa se representa como un mapa de elementos a sus números. Los elementos se denominan claves en este caso. Es posible que el número de claves distintas sea demasiado grande y, en este caso, se está fragmentando el multiset . Para finalizar la reducción correctamente, la etapa "Shuffling" reagrupa los datos entre los nodos. Si no necesitamos este paso, todo el Mapa / Reducir consiste en mapear y reducir; ambas operaciones son paralelizables, la primera debido a su naturaleza de elemento, la segunda debido a la asociatividad del monoide.
Monoides completos
Un monoide completo es un monoide conmutativo equipado con una operación de suma infinitapara cualquier índice establecido I tal que: [12] [13] [14] [15]
y
Un monoide continuo es un monoide conmutativo ordenado en el que cada conjunto dirigido tiene un límite superior mínimo compatible con la operación del monoide:
Estos dos conceptos están estrechamente relacionados: un monoide continuo es un monoide completo en el que la suma infinitaria se puede definir como
donde el supremo de la derecha corre sobre todos los subconjuntos finitos E de I y cada suma de la derecha es una suma finita en el monoide. [15]
Ver también
- Relaciones de Green
- Monad (programación funcional)
- Semiring y álgebra de Kleene
- Problema de altura de estrella
- Plaza védica
Notas
- ^ Si tanto e 1 como e 2 satisfacen las ecuaciones anteriores, entonces e 1 = e 1 • e 2 = e 2 .
- ^ Jacobson, 2009 .
- ^ Algunos autores omiten el requisito de que un submonoide debe contener el elemento de identidad de su definición, requiriendo solamente que tiene un elemento de identidad, que puede ser distinta de la de M .
- ^ Gondran, Michel; Minoux, Michel (2008). Gráficos, dioides y semirings: nuevos modelos y algoritmos . Serie de interfaces de investigación de operaciones / ciencias de la computación. 41 . Dordrecht: Springer-Verlag . pag. 13. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038 .
- ^ Rhodes, John; Steinberg, Benjamin (2009), La teoría q de los semigrupos finitos: un nuevo enfoque , Springer Monographs in Mathematics, 71 , Springer, p. 22, ISBN 9780387097817.
- ↑ Jacobson , 2009 , p. 29, ejemplos 1, 2, 4 y 5.
- ↑ Jacobson , 2009 , p. 35.
- ↑ Jacobson, I.5. pag. 22
- ^ Wehrung, Friedrich (1996). "Productos tensoriales de estructuras con interpolación" . Pacific Journal of Mathematics . 176 (1): 267–285. Zbl 0865.06010 .
- ^ F ( x ) * f ( e M ) = f ( x * e M ) = f ( x ) para cada x en M , cuando f es un homomorfismo semigrupo y e M es la identidad de su dominio monoide M .
- ^ a b c Awodey, Steve (2006). Teoría de categorías . Guías lógicas de Oxford. 49 . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 10. ISBN 0-19-856861-4. Zbl 1100.18001 .
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Referencias
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enlaces externos
- "Monoide" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Monoide" . MathWorld .
- Monoide en PlanetMath .