En matemáticas , el problema de momentos de Hausdorff , llamado así por Felix Hausdorff , pide condiciones necesarias y suficientes para que una secuencia dada ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) sea la secuencia de momentos
de alguna medida de Borel μ soportada en el intervalo unitario cerrado [0, 1] . En el caso m 0 = 1 , esto equivale a la existencia de una variable aleatoria X soportada en [0, 1] , tal que E [ X n ] = m n .
La diferencia esencial entre este y otros problemas de momentos bien conocidos es que se encuentra en un intervalo acotado , mientras que en el problema de momentos de Stieltjes se considera una media línea [0, ∞) , y en el problema de momentos de Hamburger se considera la línea completa (−∞, ∞). Los problemas de momento de Stieltjes y los problemas de momento de Hamburger, si tienen solución, pueden tener infinitas soluciones (problema de momento indeterminado), mientras que un problema de momento de Hausdorff siempre tiene una solución única si se puede resolver (problema de momento determinado). En el caso del problema de momentos indeterminados, hay infinitas medidas correspondientes a los mismos momentos prescritos y consisten en un conjunto convexo. El conjunto de polinomios puede o no ser denso en los espacios de Hilbert asociados si el problema de momento es indeterminado, y depende de si la medida es extrema o no. Pero en el caso del problema de momento determinado, el conjunto de polinomios es denso en el espacio de Hilbert asociado.
En 1921, Hausdorff demostró que ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) es una secuencia de momentos si y solo si la secuencia es completamente monótona, es decir, sus secuencias en diferencias satisfacen la ecuación
que es no negativo ya que es la integral de un no negativo función . Por ejemplo, es necesario tener