En matemáticas , el problema del momento de Hamburger , llamado así por Hans Ludwig Hamburger , se formula de la siguiente manera: dada una secuencia ( m 0 , m 1 , m 2 , ...), ¿existe una medida de Borel positiva μ (por ejemplo, el medida determinada por la función de distribución acumulada de una variable aleatoria ) en la línea real de manera que
En otras palabras, una respuesta afirmativa al problema significa que ( m 0 , m 1 , m 2 , ...) es la secuencia de momentos de alguna medida de Borel positiva μ .
El problema del momento de Stieltjes , el problema del momento de Vorobyev y el problema del momento de Hausdorff son similares pero reemplazan la línea real por(Stieltjes y Vorobyev; pero Vorobyev formula el problema en términos de la teoría de matrices), o un intervalo acotado (Hausdorff).
Caracterización
El problema del momento de Hamburger se puede resolver (es decir, ( m n ) es una secuencia de momentos ) si y solo si el correspondiente kernel de Hankel en los enteros no negativos
es positivo definido , es decir,
para cada secuencia arbitraria ( c j ) j ≥ 0 de números complejos con soporte finito (es decir, c j = 0 excepto para un número finito de valores de j ).
Para la parte "solo si" de las afirmaciones, simplemente tenga en cuenta que
que no es negativo si no es negativo.
Esbozamos un argumento a favor de lo contrario. Sean Z + los números enteros no negativos y F 0 ( Z + ) denote la familia de sucesiones complejas valoradas con soporte finito. El kernel A positivo de Hankel induce un producto sesquilíneo (posiblemente degenerado) en la familia de secuencias de valores complejos con soporte finito. Esto a su vez da un espacio de Hilbert
cuyo elemento típico es una clase de equivalencia denotada por [ f ].
Sea e n el elemento en F 0 ( Z + ) definido por e n ( m ) = δ nm . Uno nota que
Por lo tanto, el operador "shift" T en, con T [ e n ] = [ e n + 1 ], es simétrico .
Por otro lado, la expresión deseada
sugiere que μ es la medida espectral de un operador autoadjunto . (Expresado con más precisión, μ es la medida espectral para un operadordefinido a continuación y el vector [1], ( Reed & Simon 1975 , p. 145)). Si podemos encontrar un "modelo de función" tal que el operador simétrico T es una multiplicación por x , entonces la resolución espectral de una extensión autoadjunta de T prueba la afirmación.
Un modelo de función viene dado por el isomorfismo natural de F 0 ( Z + ) a la familia de polinomios , en una sola variable real y coeficientes complejos: para n ≥ 0, identifique e n con x n . En el modelo, el operador T es una multiplicación por x y un operador simétrico densamente definido. Se puede demostrar que T siempre tiene extensiones autoadjuntas. Dejarsea uno de ellos y μ sea su medida espectral. Entonces
Por otro lado,
Para una prueba alternativa de la existencia que solo usa integrales de Stieltjes, ver también, [1] en particular el teorema 3.2.
Singularidad de las soluciones
Las soluciones forman un conjunto convexo, por lo que el problema tiene infinitas soluciones o una solución única.
Considere la matriz de Hankel ( n + 1) × ( n + 1)
La positividad de A significa que para cada n , det (Δ n ) ≥ 0. Si det (Δ n ) = 0, para algunos n , entonces
es de dimensión finita y T es autoadjunta. Entonces, en este caso, la solución al problema del momento de Hamburger es única y μ , siendo la medida espectral de T , tiene un soporte finito.
De manera más general, la solución es única si hay constantes C y D tales que para todo n , | m n | ≤ CD n n ! ( Reed y Simon 1975 , p. 205). Esto se sigue de la condición más general de Carleman .
Hay ejemplos en los que la solución no es única; ver, por ejemplo, [2] .
Resultados adicionales
Se puede ver que el problema del momento de Hamburger está íntimamente relacionado con polinomios ortogonales en la línea real. El procedimiento de Gram-Schmidt proporciona una base de polinomios ortogonales en los que el operador:tiene una representación matricial de Jacobi tridiagonal . Esto, a su vez, conduce a un modelo tridiagonal de granos de Hankel positivos.
Un cálculo explícito de la transformada de Cayley de T muestra la conexión con lo que se llama la clase de funciones analíticas de Nevanlinna en el semiplano izquierdo. Pasando al escenario no conmutativo, esto motiva la fórmula de Krein que parametriza las extensiones de isometrías parciales.
La función de distribución acumulativa y la función de densidad de probabilidad a menudo se pueden encontrar aplicando la transformada de Laplace inversa a la función generadora de momentos.
siempre que esta función converja.
Referencias
- Chihara, TS (1978), Introducción a los polinomios ortogonales , Gordon y Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
- Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Análisis de Fourier, Autoajuste , Métodos de física matemática moderna, 2 , Academic Press, págs. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
- Shohat, JA; Tamarkin, JD (1943), El problema de los momentos , Nueva York: sociedad matemática estadounidense, ISBN 0-8218-1501-6.
- ^ Chihara 1978 , p. 56.
- ^ Chihara 1978 , p. 73.