En matemáticas , un espacio topológico ( X , T ) se llama completamente uniformizable [1] (o Dieudonné completa [2] ), si existe al menos una completa uniformidad que induce la topología T . Algunos autores [3] además requieren que X sea Hausdorff . Algunos autores han llamado a estos espacios topológicamente completos , [4] aunque ese término también se ha utilizado en otros significados como completamente metrizable , que es una propiedad más fuerte quecompletamente uniformizable .
Propiedades
- Todo espacio completamente uniformable es uniformable y, por lo tanto, completamente regular .
- Un espacio X completamente regular es completamente uniforme si y solo si la uniformidad fina en X es completa. [5]
- Cada espacio paracompacto regular (en particular, cada espacio paracompacto de Hausdorff) es completamente uniforme. [6] [7]
- (Teorema de Shirota) Un espacio de Hausdorff completamente regular es realmente compacto si y solo si es completamente uniforme y no contiene un subespacio discreto cerrado de cardinalidad medible . [8]
Todo espacio metrizable es paracompacto, por lo que es completamente uniforme. Como existen espacios metrizables que no son completamente metrizables , la uniformización completa es una condición estrictamente más débil que la metrizabilidad completa.
Ver también
- Espacio completamente metrizable
- Espacio vectorial topológico completo : un TVS donde los puntos que se acercan progresivamente entre sí siempre convergerán en un punto.
- Espacio uniforme: espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
Notas
- ^ por ejemplo, Willard
- ^ Enciclopedia de las matemáticas
- ^ por ejemplo, Arkhangel'skii (en la Enciclopedia de Matemáticas), que usa el término Dieudonné completo
- ^ Kelley
- ^ Willard, pág. 265, ej. 39B
- ^ Kelley, pág. 208, Problema 6.L (d). Tenga en cuenta que Kelley usa la palabra paracompacto para espacios paracompactos regulares (vea la definición en la p. 156). Como se menciona en la nota al pie de la página 156, esto incluye los espacios paracompactos de Hausdorff.
- ^ Tenga en cuenta que la suposición de que el espacio es regular o de Hausdorff no puede descartarse, ya que todo espacio uniforme es regular y es fácil construir espacios finitos (por lo tanto paracompactos) que no son regulares.
- ^ Beckenstein et al., Página 44
Referencias
- AV Arkhangel'skii (creador). "Espacio completo" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 5 de marzo de 2013 .
- Beckenstein, Edward; Narici, Lawrence; Suffel, Charles (1977). Álgebras topológicas . Holanda Septentrional. ISBN 0-7204-0724-9.
- Kelley, John L. (1975). Topología general . Saltador. ISBN 0-387-90125-6.
- Willard, Stephen (1970). Topología general . Compañía editorial de Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9.