En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas, un espacio vectorial topológico completo es un espacio vectorial topológico (TVS) con la propiedad de que cada vez que los puntos se acercan progresivamente entre sí, existe algún punto.hacia el que todos se acercan. La noción de "puntos que se acercan progresivamente" se hace rigurosa mediante redes de Cauchy o filtros de Cauchy , que son generalizaciones de secuencias de Cauchy , mientras que "puntohacia el que todos se acercan "significa que esta red o filtro converge aA diferencia de la noción de completitud para los espacios métricos , que generaliza, la noción de completitud para los TVS no depende de ninguna métrica y se define para todos los TVS, incluidos aquellos que no son metrizables o Hausdorff .
La completitud es una propiedad extremadamente importante que debe poseer un espacio vectorial topológico. Las nociones de completitud para espacios normativos y TVS metrizables , que se definen comúnmente en términos de completitud de una norma o métrica particular, pueden reducirse a esta noción de completitud de TVS; una noción que es independiente de cualquier norma o métrica en particular. Un espacio vectorial topológico metrizable con una métrica invariante de traducción [nota 1] está completo como TVS si y solo si es un espacio métrico completo , que por definición significa que cada- La secuencia de Cauchy converge a algún punto enEjemplos destacados de TVS completos que también son metrizables incluyen todos los espacios F y, en consecuencia, también todos los espacios Fréchet , espacios Banach y espacios Hilbert . Ejemplos prominentes de TVS completos que (típicamente) no son metrizables incluyen espacios LF estrictos y muchos espacios nucleares como el espacio de Schwartz de funciones suaves que disminuyen rápidamente y también los espacios de distribuciones y funciones de prueba.
Explícitamente, un espacio vectorial topológico (TVS) está completo si cada red , o equivalentemente, cada filtro , que es Cauchy con respecto a la uniformidad canónica del espacio, necesariamente converge en algún punto. Dicho de otra manera, un TVS está completo si su uniformidad canónica es una uniformidad completa . La uniformidad canónica en un televisor.es la uniformidad invariante de traducción única [nota 2] que induce en la topología Esta noción de "completitud de TVS" depende sólo de la resta de vectores y la topología de TVS; en consecuencia, se puede aplicar a todos los TVS, incluidos aquellos cuyas topologías no se pueden definir en términos métricas o pseudométricas . Un primer TVS contable está completo si y solo si cada secuencia de Cauchy (o equivalentemente, cada filtro elemental de Cauchy) converge en algún punto.
Cada espacio vectorial topológico incluso si no es metrizable o no Hausdorff , tiene una terminación , que por definición es un TVS completo dentro del cual puede integrarse en TVS como un subespacio vectorial denso . Además, cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff , que es necesariamente única hasta el isomorfismo de TVS . Sin embargo, como se analiza a continuación, todos los TVS (incluso los que son completos, Hausdorff y / o metrizables) tienen infinitas terminaciones que no son de Hausdorff que no son TVS-isomorfos entre sí. El espacio vectorial que consta de funciones simples con valores escalares. para cual (donde esta seminorma se define de la manera habitual en términos de integración de Lebesgue ) se convierte en un espacio seminormado cuando está dotado de esta seminorma, que a su vez lo convierte en un espacio pseudométrico y un TVS no completo no Hausdorff; cualquier terminación de este espacio es un espacio seminormado completo que no es de Hausdorff que cuando está coorientado por el cierre de su origen (para obtener un TVS de Hausdorff ) da como resultado (un espacio linealmente isométricamente isomórfico a) el habitual de Hausdorff completo L pag {\ Displaystyle L ^ {p}} -espacio (dotado con el habitual completo norma ). Como otro ejemplo que demuestra la utilidad de las terminaciones, las terminaciones de productos tensoriales topológicos , tales como productos tensoriales proyectivos o productos tensoriales inyectivos , del espacio de Banach. con un completo televisor Hausdorff localmente convexo resulta en un TVS completo que es TVS-isomorfo a un "generalizado" -espacio consistente -funciones valoradas en (donde este TVS "generalizado" se define de forma análoga al espacio original de funciones con valores escalares en ). De manera similar, la finalización del producto tensorial inyectivo del espacio de valores escalares C k {\ Displaystyle C ^ {k}} -prueba las funciones con un televisor de este tipo es TVS-isomorfo a los TVS definidos análogamente de Y {\ Displaystyle Y} -valorado C k {\ Displaystyle C ^ {k}} funciones de prueba.
Definiciones
Esta sección resume la definición de un espacio vectorial topológico completo (TVS) en términos de redes y prefiltros . La información sobre la convergencia de redes y filtros, como definiciones y propiedades, se puede encontrar en el artículo sobre filtros en topología .
Cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico conmutativo con identidad bajo la suma y la uniformidad canónica de un TVS se define completamente en términos de resta (y por lo tanto, suma); la multiplicación escalar no está involucrada y no se necesita una estructura adicional.
Uniformidad canónica
La diagonal dees la familia [1] Para cualquier la comitiva canónica / vecindad alrededor es el set
donde si luego contiene la diagonal
Si es simétrico (es decir, si), luego es simétrico , lo que por definición significa quey además, la composición de este conjunto simétrico consigo mismo es:
Si es cualquier base de vecindario en el origen en luego la familia de subconjuntos de :
es un prefiltro en. Sies el filtro de vecindad en el origen en luego forma una base de séquitos para una estructura uniforme enque se considera canónico. [2] Explícitamente, por definición, la uniformidad canónica en Inducido por [2] es el filtro en generado por el prefiltro anterior :
dónde denota el cierre hacia arriba de en .
Si es cualquier base de vecindario en el origen en luego el filtro en generado por el prefiltro es igual a la uniformidad canónica Inducido por
- Continuidad uniforme
Dejar y ser televisores, y ser un mapa. Luegoes uniformemente continuo si para cada vecindario del origen en existe un barrio del origen en tal que para todos Si luego
Red de Cauchy
La teoría general de espacios uniformes tiene su propia definición de "prefiltro de Cauchy" y "red de Cauchy". Por la uniformidad canónica en estas definiciones se reducen a la definición que se describe a continuación.
Suponer es una red en y es una red en El producto se convierte en un conjunto dirigido al declarar si y solo si y Luego
denota la red del producto . Si luego la imagen de esta red debajo del mapa de adición de vectores denota la suma de estas dos redes: [3]
y de manera similar, su diferencia se define como la imagen de la red de productos bajo el mapa de sustracción vectorial:
Una red en un televisor se llama red de Cauchy [4] si
- en
o lo que es lo mismo, si para cada barrio de en existe algo tal que para todos con Una secuencia de Cauchy es una red de Cauchy que es una secuencia. Basta con comprobar cualquiera de estas condiciones definitorias para cualquier base de vecindad dada de en
Filtro Cauchy y prefiltro Cauchy
Un prefiltro en un televisor llamado prefiltro de Cauchy [5] si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- en dónde es un prefiltro.
- en dónde es un prefiltro equivalente a
- Para cada barrio de en contiene algunos -pequeño conjunto (es decir, existen algunos tal que ). [6]
- Si es un subconjunto de TVS y es un conjunto que contiene luego es -pequeña o pequeña orden[5] si
- Para cada barrio de en existe algo y algo tal que [5]
Es suficiente verificar cualquiera de las condiciones anteriores para cualquier base de vecindario dada de en
Si es un prefiltro en un televisor y luego en si y solo si y es Cauchy. [3]
Subconjunto completo
Para cualquier un prefiltro en es necesariamente un subconjunto de ; es decir,
Un subconjunto de un televisor se llama completo si satisface alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada prefiltro de Cauchy en converge en al menos un punto de
- Si es Hausdorff, entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger en múltiples puntos en Lo mismo ocurre con las redes.
- Cada red de Cauchy en converge en al menos un punto de
- es un espacio uniforme completo (según la definición de topología de conjunto de puntos de " espacio uniforme completo ") cuando está dotado de la uniformidad que le induce la uniformidad canónica de
El subconjunto se llama secuencialmente completa si cada secuencia de Cauchy en (o equivalentemente, cada filtro / prefiltro elemental de Cauchy en ) converge en al menos un punto de
Es importante destacar que la convergencia fuera deestá permitido : si no es Hausdorff y si cada prefiltro de Cauchy en converge a algún punto de luego estará completo incluso si algunos o todos los prefiltros de Cauchy en también convergen a puntos en En resumen, no es necesario que estos prefiltros de Cauchy en convergen solo a puntos en Lo mismo puede decirse de la convergencia de las redes de Cauchy en
Como consecuencia, si un televisor no es Hausdorff, entonces cada subconjunto del cierre de en es completo porque es compacto y todo conjunto compacto es necesariamente completo. En particular, si es un subconjunto adecuado, como por ejemplo, entonces estaría completo a pesar de que todas las redes de Cauchy en (y también todos los prefiltros de Cauchy en ) converge a todos los puntos de incluyendo esos puntos en que no pertenecen a Este ejemplo también muestra que los subconjuntos completos (y de hecho, incluso los subconjuntos compactos) de un TVS que no es de Hausdorff pueden no cerrarse. Por ejemplo, si luego si y solo si está cerrado en
Espacio vectorial topológico completo
Un espacio vectorial topológico se llama completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cuando está dotado de su uniformidad canónica, se convierte en un espacio uniforme completo .
- En la teoría general de espacios uniformes , un espacio uniforme se denomina espacio uniforme completo si cada filtro de Cauchy en converge en hasta algún punto de
- es un subconjunto completo de sí mismo.
- Existe un barrio del origen en que también es un subconjunto completo de [5]
- Esto implica que todos los televisores compactos locales están completos (incluso si el televisor no es Hausdorff).
- Cada prefiltro de Cauchy en converge en hasta al menos un punto de
- Si es Hausdorff, entonces cada prefiltro en convergerá como máximo a un punto de Pero si no es Hausdorff, entonces un prefiltro puede converger en múltiples puntos en Lo mismo ocurre con las redes.
- Cada filtro de Cauchy activado converge en hasta al menos un punto de
- Cada red de Cauchy en converge en hasta al menos un punto de
donde si además es pseudometrizable o metrizable (por ejemplo, un espacio normado ), entonces esta lista se puede ampliar para incluir:
- está secuencialmente completo.
Un espacio vectorial topológico se completa secuencialmente si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es un subconjunto secuencialmente completo de sí mismo.
- Cada secuencia de Cauchy en converge en hasta al menos un punto de
- Cada prefiltro elemental de Cauchy en converge en hasta al menos un punto de
- Cada filtro de Cauchy elemental en converge en hasta al menos un punto de
Singularidad de la uniformidad canónica
La existencia de la uniformidad canónica se demostró anteriormente definiéndola. El teorema siguiente establece que la uniformidad canónica de cualquier TVS es la única uniformidad en que es a la vez (1) invariante en la traducción y (2) genera en la topología
Teorema [7] (Existencia y unicidad de la uniformidad canónica) - La topología de cualquier TVS puede derivarse de una uniformidad única invariante en la traducción. Sies cualquier barrio base del origen, entonces la familia es la base de esta uniformidad.
Esta sección está dedicada a explicar los significados precisos de los términos involucrados en esta declaración de singularidad.
Espacios uniformes y uniformidades invariantes en la traducción
Dejar dejar y ser subconjuntos de , y deja . Definir [1]
dónde (resp. ) se llama el conjunto de izquierda (resp. derecha )-parientes de (puntos en) Los mapas y son las proyecciones canónicas sobre la primera y segunda coordenadas, respectivamente. Dado es simétrico si mientras que un subconjunto se llama -pequeña si Dos puntos y están -cerrar si
Si y luego:
- si y solo si Es más, y es simétrico.
- Si y luego
- Asociatividad:
Una familia no vacía se llama base o sistema fundamental de séquitos sies un prefiltro en satisfaciendo todas las siguientes condiciones:
- Cada set en contiene la diagonal de como un subconjunto; es decir, para cada Dicho de otra manera, el prefiltro está fijo en
- Para cada existe algo tal que
- Para cada existe algo tal que
Una uniformidad o estructura uniforme en es un filtro en que es generado por alguna base de séquitos en cuyo caso decimos que es una base de séquitos para.
Para un grupo aditivo conmutativo un sistema fundamental de séquitos se llama invariante a la traducción [7] si para cada si y solo si para todos Una uniformidad se llama invariante a la traducción [7] si tiene una base de séquitos que es invariante a la traducción. La misma uniformidad canónica resultaría al usar una base de vecindad del origen en lugar del filtro de todas las vecindades del origen. La uniformidad canónica en cualquier TVS es invariante para la traducción. [7]
Topología generada por una uniformidad
Dejar ser una base de séquitos en Para cada y , el prefiltro de vecindario en (resp. en ) es el conjunto
- y
y el filtro en que genera se conoce como el filtro de vecindad de (resp. de ). La asignación
de puntos a prefiltros genera una topología enllamada topología inducida por. Un subconjunto está abierto en esta topología si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Para cada existe algo tal que
- Para cada existe algo tal que
El cierre de un subconjunto en esta topología es:
- Prefiltros Cauchy y uniformidades completas
Un prefiltro en un espacio uniforme con uniformidad se llama un prefiltro de Cauchy si para cada séquito existe algo tal que
Un espacio uniforme se llama completo (resp. secuencialmente completo ) si todos los prefiltros de Cauchy (resp. todos los prefiltros elementales de Cauchy) en converge en al menos un punto de Cuándo está dotado de la topología inducida por
Si es un televisor, entonces para cualquier y
- y
La topología inducida en por la uniformidad canónica es lo mismo que la topología que comenzó con (es decir, es ).
Completitud de TVS vs completitud de (pseudo) métricas
Preliminares: espacios pseudométricos completos
Repasamos las nociones básicas relacionadas con la teoría general de espacios pseudométricos completos. Recuerde que cada métrica es una pseudométrica y que una pseudométrica es una métrica si y solo si implica Así, cada espacio métrico es un espacio pseudométrico y un espacio pseudométrico. es un espacio métrico si y solo si es una métrica.
Si es un subconjunto de un espacio pseudométrico entonces el diámetro de se define como
Un prefiltro en un espacio pseudométrico se llama un -Prefiltro de Cauchy o simplemente un prefiltro de Cauchy si para cada real hay algunos tal que el diámetro de es menos que
Suponer es un espacio pseudométrico. Una red en se llama un -Cauchy net o simplemente una red Cauchy si es un prefiltro de Cauchy, lo que ocurre si y solo si
- para cada hay algunos tal que si con y luego
Una secuencia de Cauchy es una secuencia que también es una red de Cauchy. [nota 3]
Cada pseudometrico en un set induce la topología canónica habitual en que denotaremos por ; también induce una uniformidad canónica en que denotaremos por La topología en inducida por la uniformidad es igual a Una red en es Cauchy con respecto a si y solo si es Cauchy con respecto a la uniformidad El espacio pseudométrico es un espacio pseudométrico completo (resp. secuencialmente completo) si y solo sies un espacio uniforme completo (resp. secuencialmente completo). Además, el espacio pseudométrico (resp. el espacio uniforme ) está completo si y solo si se completa secuencialmente.
Un espacio pseudométrico (por ejemplo, un espacio métrico ) se llama completo yse denomina pseudométrico completo si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada prefiltro de Cauchy en converge en al menos un punto de
- La declaración anterior pero con la palabra "prefiltro" reemplazada por "filtro".
- Cada red de Cauchy en converge en al menos un punto de
- Cada secuencia de Cauchy en converge en al menos un punto de
- Así para demostrar que está completo, basta con considerar sólo las secuencias de Cauchy en (y no es necesario considerar las redes Cauchy más generales).
- La uniformidad canónica en inducida por la pseudometría es una uniformidad completa.
- Tenga en cuenta que si es una métrica en entonces cualquier punto límite es necesariamente único y lo mismo es cierto para los límites de los prefiltros de Cauchy en
Y si suma es una métrica, luego podemos agregar a esta lista:
- Cada secuencia decreciente de bolas cerradas cuyos diámetros se reducen a tiene una intersección no vacía. [8]
Pseudometría completa y TVS completos
Cada espacio F , y por lo tanto también cada espacio Fréchet , espacio Banach y espacio Hilbert es un televisor completo. Tenga en cuenta que cada espacio F es un espacio de Baire, pero hay espacios normativos que son de Baire pero no de Banach. [9]
Una pseudometrica en un espacio vectorial se dice que es invariante a la traducción si para todos los vectores
Suponer es un TVS pseudometrizable (por ejemplo, un TVS metrizable) y que¿hay algún pseudométrico en tal que la topología en Inducido por es igual a Si es invariante a la traducción, entonces es un televisor completo si y solo si es un espacio pseudométrico completo. [10] Sino es invariante en la traducción, entonces puede ser posible para para ser una TV completa pero a no ser un espacio pseudométrico completa [10] (ver esta nota [nota 4] para un ejemplo). [10]
Teorema [11] [12] (Klee) - Seaser cualquier métrica [nota 5] en un espacio vectorial tal que la topología Inducido por en hace en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un completo-TVS.
Normas completas y normas equivalentes
Dos normas en un espacio vectorial se denominan equivalentes si y solo si inducen la misma topología. [13] Si y son dos normas equivalentes en un espacio vectorial luego el espacio normado es un espacio de Banach si y solo sies un espacio de Banach. Ver este pie de página para un ejemplo de una norma continua en un espacio de Banach que no es es no equivalente a la norma dada de ese espacio de Banach. [nota 6] [13] Todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes y todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. [14] Cada espacio de Banach es un televisor completo. Un espacio normado es un espacio de Banach (es decir, su métrica canónica inducida por la norma es completa) si y solo si está completo como un espacio vectorial topológico.
Terminaciones
Una terminación [15] de un TV es un TVS completo que contiene un subespacio vectorial denso que es TVS-isomorfo a
No unicidad de todas las terminaciones
Como muestra el siguiente ejemplo, independientemente de si un espacio es Hausdorff o ya está completo, cada espacio vectorial topológico (TVS) tiene infinitas terminaciones no isomórficas. [dieciséis]
Sin embargo, cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo de TVS. [16] Sin embargo, cada TVS de Hausdorff todavía tiene un número infinito de terminaciones no isomórficas que no son de Hausdorff.
Ejemplo ( no unicidad de las terminaciones ): [15] Sea denotar cualquier TVS completo y dejar denotar cualquier TVS dotado de la topología indiscreta , que el recuerdo haceen un televisor completo. Ya que ambos y son televisores completos, también lo es su producto Si y son subconjuntos abiertos no vacíos de y respectivamente, entonces y que muestra que es un subespacio denso de Así, por definición de "finalización", es una terminación de (no importa eso ya está completo). Entonces al identificar con Si es un subespacio vectorial denso de luego tiene ambos y como terminaciones.
Terminaciones de Hausdorff
Cada TVS de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff que es única hasta el isomorfismo de TVS. [16] Sin embargo, como se muestra arriba, cada TVS de Hausdorff todavía tiene infinitas terminaciones no isomórficas que no son de Hausdorff.
Propiedades de las terminaciones de Hausdorff [17] - Suponga que y son televisores de Hausdorff con completo. Suponer que es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de Luego
- Propiedad universal : para cada mapa lineal continuo en un completo TV de Hausdorff existe un mapa lineal continuo único tal que
Si es un TVS incrustado en un subespacio vectorial denso de un TVS de Hausdorff completo teniendo la propiedad universal anterior, entonces existe un isomorfismo TVS único (biyectivo) tal que
Corolario [17] - Supongamos es un completo TV de Hausdorff y es un subespacio vectorial denso de Entonces cada mapa lineal continuo en un completo TV de Hausdorff tiene una extensión lineal continua única a un mapa
- Existencia de terminaciones de Hausdorff
Un filtro de Cauchy en un televisor se denomina filtro de Cauchy mínimo [17] si no existe un filtro de Cauchy en que es estrictamente más tosco que (es decir, "estrictamente más burdo que "significa contenido como un subconjunto adecuado de ).
Si es un filtro de Cauchy en luego el filtro generado por el siguiente prefiltro:
es el exclusivo filtro Cauchy mínimo en que está contenido como un subconjunto de [17] En particular, para cualquier el filtro de barrio en es un filtro Cauchy mínimo.
Dejar ser el conjunto de todos los filtros Cauchy mínimos en y deja ser el mapa definido enviando al filtro de barrio de en Dotamos con la siguiente estructura de espacio vectorial. Dado y un escalar dejar (resp. denotar el filtro Cauchy mínimo único contenido en el filtro generado por (resp. ).
Para cada barrio equilibrado del origen en dejar
Si es Hausdorff, entonces la colección de todos los conjuntos como abarca todos los barrios equilibrados del origen en forma una topología vectorial en haciendo en un completo TV de Hausdorff. Además, el mapa es una incrustación de TVS en un subespacio vectorial denso de [17]
Si es un TVS metrizable y luego una terminación de Hausdorff de se puede construir usando clases de equivalencia de secuencias de Cauchy en lugar de filtros de Cauchy mínimos.
Terminaciones que no son de Hausdorff
Ahora mostramos cómo todos los televisores que no son de Hausdorff se puede incrustar TVS en un subespacio vectorial denso de un TVS completo. La prueba de que cada TV de Hausdorff tiene una terminación de Hausdorff está ampliamente disponible, por lo que usamos su conclusión para demostrar que cada TV que no es de Hausdorff también tiene una terminación. Estos detalles a veces son útiles para extender los resultados de los televisores de Hausdorff a los televisores que no son de Hausdorff.
Dejar denotar el cierre del origen en dónde está dotado de su topología subespacial inducida por (así que eso tiene la topología indiscreta ). Desde tiene la topología trivial, se muestra fácilmente que cada subespacio vectorial de que es un complemento algebraico de en es necesariamente un complemento topológico de en [18] [19] Vamos denotar cualquier complemento topológico de en que es necesariamente un TVS de Hausdorff (ya que es TVS-isomorfo al cociente TVS [nota 7] ). Desdees la suma topológica directa de y (Lo que significa que en la categoría de TVS), el mapa canónico
- dada por
es un isomorfismo TVS. [19] Dejadenotar el inverso de este mapa canónico. (Como nota al margen, se deduce que todos los subconjuntos abiertos y cerrados de satisface [prueba 1] )
Los televisores de Hausdorff se puede incrustar en TVS, por ejemplo, a través del mapa en un subespacio vectorial denso de su finalización Desde y están completos, también lo es su producto Dejar denotar el mapa de identidad y observar que el mapa del producto es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en Definir el mapa [nota 8]
- por
que es una incrustación de TVS de en un subespacio vectorial denso del TVS completo Además, obsérvese que el cierre del origen en es igual a y eso y son complementos topológicos en
En resumen, [19] dado cualquier complemento algebraico (y por lo tanto topológico) de en y dado cualquier finalización de los televisores Hausdorff tal que luego la inclusión natural [20]
es una incrustación de TVS bien definida de en un subespacio vectorial denso del TVS completo donde además tenemos
Topología de una terminación
Teorema [7] [21] (Topología de una terminación) - Sea sé un completo TV y deja ser un subespacio vectorial denso de Si es cualquier base de vecindario del origen en entonces el set
es un barrio del origen en la terminación de
Si es localmente convexa y es una familia de seminarios continuos en que generan la topología de luego la familia de todas las extensiones continuas para de todos los miembros de es una familia generadora de seminarios para
Dicho de otra manera, si es una terminación de un televisor con y si es una base vecinal del origen en luego la familia de conjuntos
es una base de barrio en el origen en [3]
Teorema [22] (Completaciones de cocientes) - Seaser un espacio vectorial topológico metrizable y dejar ser un subespacio vectorial cerrado de Suponer que es una terminación de Entonces la finalización de es TVS-isomorfo a Si además es un espacio normado, entonces este isomorfismo TVS también es una isometría.
Propiedades conservadas por terminaciones
Si un televisor tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces también lo hace su finalización:
- Hausdorff
- Localmente convexo
- Pseudometrizable [16]
- Metrizable [16]
- Seminormable
- Normable
- Además, si es un espacio normado, entonces la terminación se puede elegir para ser un espacio de Banach tal que la incrustación de TVS de dentro es una isometría.
- Hausdorff anterior a Hilbert . Es decir, un TVS inducido por un producto interno . [23]
- Cada espacio de producto interior tiene una terminación ese es un espacio de Hilbert, donde el producto interno es la única extensión continua de del producto interior original La norma inducida por es también la extensión continua única para de la norma inducida por [23] [21]
- Nuclear [22]
- Barril [24]
- Mackey [25]
- Espacio DF [26]
- Otras propiedades conservadas
Si es un TV de Hausdorff , entonces el espacio dual continuo de es idéntico al espacio dual continuo de la finalización de [27] La terminación de un espacio bornológico localmente convexoes un espacio en barril . [24] Si y son espacios DF, entonces el producto del tensor proyectivo , así como su finalización, de estos espacios es un espacio DF. [28]
La finalización del producto tensorial proyectivo de dos espacios nucleares es nuclear. [22] La terminación de un espacio nuclear es TVS-isomorfa con un límite proyectivo de espacios de Hilbert . [22]
Propiedades de mapas conservados por extensiones hasta su finalización
Si es un operador lineal nuclear entre dos espacios localmente convexos y si ser una terminación de luego tiene una extensión lineal continua única para un operador lineal nuclear [22]
Dejar y ser dos televisores de Hausdorff con completo. Dejar ser una terminación de Dejar denotar el espacio vectorial de operadores lineales continuos y dejar denotar el mapa que envía cada a su extensión lineal continua única en Luego es un isomorfismo del espacio vectorial (sobreyectivo). Es más,mapea familias de subconjuntos equicontinuos entre sí. Suponer que está dotado de un -topología y eso denota los cierres en de conjuntos en Entonces el mapa es también un isomorfismo TVS. [22]
Ejemplos y condiciones suficientes para un TVS completo
Teorema - [11] Seaser cualquier métrica (no se supone que sea invariante a la traducción) en un espacio vectorial tal que la topología Inducido por en hace en un espacio vectorial topológico. Si es un espacio métrico completo entonces es un completo-TVS.
- Cualquier TVS dotado de la topología trivial está completo y cada uno de sus subconjuntos está completo. Además, todos los televisores con la topología trivial son compactos y, por lo tanto, localmente compactos. Por lo tanto, un TVS localmente convexo y localmente compacto seminormable completo no necesita ser de dimensión finita si no es de Hausdorff.
- Un producto arbitrario de TVS completos (resp. Secuencialmente completos, cuasi completos) tiene la misma propiedad. Si todos los espacios son de Hausdorff, entonces lo inverso también es cierto. [29] Un producto de terminaciones de Hausdorff de una familia de TVS (de Hausdorff) es una terminación de Hausdorff de su producto TVS. [29] De manera más general, un producto arbitrario de subconjuntos completos de una familia de TVS es un subconjunto completo del producto TVS. [30]
- El límite proyectivo de un sistema proyectivo de TVS completos de Hausdorff (resp. Secuencialmente completos, cuasi-completos) tiene esa misma propiedad. [29] Un límite proyectivo de terminaciones de Hausdorff de un sistema inverso de TVS (Hausdorff) es una terminación de Hausdorff de su límite proyectivo. [29]
- Si es un subespacio vectorial cerrado de un TVS pseudometrizable completo luego el espacio del cociente Esta completo. [3]
- Suponer es un subespacio vectorial completo de un televisor metrizable Si el espacio del cociente está completo, entonces también lo está [3] [31] Sin embargo, existe un TVS completo tener un subespacio vectorial cerrado tal que el cociente TVS no está completo. [17]
- Cada F-espacio , espacio de Fréchet , espacio de Banach , y el espacio de Hilbert es un TVS completa.
- Los espacios LF estrictos y los espacios LB estrictos están completos. [32]
- Suponer que es un subconjunto denso de TVS Si todos los filtros de Cauchy activados converge a algún punto en luego Esta completo. [31]
- El espacio de Schwartz de funciones suaves está completo.
- Los espacios de distribuciones y funciones de prueba están completos.
- Suponer que y son TVS localmente convexos y que el espacio de mapas lineales continuosestá dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Si es un espacio bornológico y si está completo entonces es un televisor completo. [32] En particular, el dual fuerte de un espacio bornológico está completo. [32] Sin embargo, no es necesario que sea bornológico.
- Cada espacio DF cuasi-completo está completo. [26]
- Dejar y ser topologías de TVS de Hausdorff en un espacio vectorial tal que Si existe un prefiltro tal que es una base de vecindario en el origen de y tal que cada es un subconjunto completo de luego es un televisor completo. [5]
Propiedades
TVS completos
Cada TV tiene una terminación y cada Hausdorff TVS tiene una terminación de Hausdorff. [33] Cada TVS completo es un espacio cuasi completo y secuencialmente completo . [34] Sin embargo, lo contrario de las implicaciones anteriores son generalmente falsas. [34] Existe un TVS localmente convexo secuencialmente completo que no es cuasi-completo . [26]
Si un televisor tiene una vecindad completa del origen, entonces está completo. [35] Cada TVS pseudometrizable completo es un espacio de barril y un espacio de Baire (y por lo tanto no es exiguo). [36] La dimensión de un TVS metrizable completo es finita o incontable. [19]
Redes y prefiltros de Cauchy
Cualquier base de vecindad de cualquier punto en un TVS es un prefiltro de Cauchy.
Cada red convergente (resp. Prefiltro) en un TVS es necesariamente una red de Cauchy (resp. Un prefiltro de Cauchy). [5] Cualquier prefiltro que esté subordinado a (es decir, más fino que) un prefiltro de Cauchy es necesariamente también un prefiltro de Cauchy [5] y cualquier prefiltro más fino que un prefiltro de Cauchy también es un prefiltro de Cauchy. El filtro asociado con una secuencia en un TVS es Cauchy si y solo si la secuencia es una secuencia de Cauchy. Cada prefiltro convergente es un prefiltro de Cauchy.
Si es un televisor y si es un punto de agrupación de una red de Cauchy (resp. prefiltro de Cauchy), luego esa red de Cauchy (resp. prefiltro de Cauchy) converge a en [3] Si un filtro Cauchy en un TVS tiene un punto de acumulación luego converge a
Los mapas uniformemente continuos envían redes de Cauchy a redes de Cauchy. [3] Una secuencia de Cauchy en un TV de Hausdorffno es necesariamente relativamente compacto (es decir, su cierre en no es necesariamente compacto).
Suponer que es una familia de televisores y que denota el producto de estos televisores. Supongamos que para cada índice es un prefiltro en Entonces el producto de esta familia de prefiltros es un filtro Cauchy en si y solo si cada es un filtro de Cauchy en [17]
Mapas
Si es un homomorfismo topológico inyectivo de un TVS completo en un TVS de Hausdorff, entonces la imagen de (es decir, ) es un subespacio cerrado de [31] Sies un homomorfismo topológico de un TVS metrizable completo en un TVS de Hausdorff, entonces el rango de es un subespacio cerrado de [31] Sies un mapa uniformemente continuo entre dos TVS de Hausdorff, luego la imagen debajo de un subconjunto totalmente acotado de es un subconjunto totalmente acotado de [37]
- Extensiones uniformemente continuas
Suponer que es un mapa uniformemente continuo de un subconjunto denso de un televisor en un completo TV de Hausdorff Luego tiene una extensión única uniformemente continua a todos los [3] Si ademáses un homomorfismo, entonces su única extensión uniformemente continua es también un homomorfismo. [3] Esto sigue siendo cierto si "TVS" se reemplaza por "grupo topológico conmutativo". [3] El mapa no es necesario que sea un mapa lineal y que no es necesario que sea un subespacio vectorial de
- Extensiones lineales uniformemente continuas
Suponer ser un operador lineal continuo entre dos TVS de Hausdorff. Si es un subespacio vectorial denso de y si la restricción a es un homomorfismo topológico entonceses también un homomorfismo topológico. [38] Entonces, si y son terminaciones de Hausdorff de y respectivamente, y si es un homomorfismo topológico, entonces extensión lineal continua única es un homomorfismo topológico. (Tenga en cuenta que es posible ser sobreyectivo pero por a no ser inyectiva.) [38]
Suponer y son televisores de Hausdorff, es un subespacio vectorial denso de y es un subespacio vectorial denso de Si son y son subgrupos aditivos topológicamente isomorfos a través de un homomorfismo topológico entonces lo mismo es cierto de y a través de la extensión única uniformemente continua de (que también es un homeomorfismo). [39]
Subconjuntos
- Subconjuntos completos
Cada subconjunto completo de un TVS se completa secuencialmente . Un subconjunto completo de televisores de Hausdorff es un subconjunto cerrado de [3] [35]
Cada subconjunto compacto de un TVS está completo (incluso si el TVS no es Hausdorff o no está completo). [3] [35] Los subconjuntos cerrados de un TVS completo están completos; sin embargo, si un televisor no está completo entonces es un subconjunto cerrado de eso no está completo. El conjunto vacío es un subconjunto completo de todos los televisores. Si es un subconjunto completo de un TVS (el TVS no es necesariamente Hausdorff o completo), entonces cualquier subconjunto de que esta cerrado en Esta completo. [35]
- Complementos topológicos
Si es un espacio Fréchet no normable en el que existe una norma continua entoncescontiene un subespacio vectorial cerrado que no tiene complemento topológico . [26] Si es un televisor completo y es un subespacio vectorial cerrado de tal que no está completo, entonces hace no Have A topológica complemento en[26]
- Subconjuntos de terminaciones
Dejar ser un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo separable y dejarsea su finalización. Si es un subconjunto acotado de entonces existe un subconjunto acotado de tal que [26]
- Relación con subconjuntos compactos
Un subconjunto de un TVS (que no se supone que sea Hausdorff o completo) es compacto si y solo si está completo y totalmente acotado . [40] [prueba 2] Por tanto, un subconjunto cerrado y totalmente acotado de un TVS completo es compacto. [41] [3]
Cada conjunto completo totalmente acotado es relativamente compacto. [3] Si es cualquier TVS entonces el mapa del cociente es un mapa cerrado [42] y por lo tanto Un subconjunto de un televisor está totalmente acotado si y solo si su imagen bajo el mapa de cociente canónico está totalmente acotado. [19] Así está totalmente acotado si y solo si está totalmente acotado. En cualquier TVS, el cierre de un subconjunto totalmente acotado vuelve a estar totalmente acotado. [3] En un espacio localmente convexo, el casco convexo y el casco en forma de disco de un conjunto totalmente acotado están totalmente acotados. [33] Si es un subconjunto de TVS tal que cada secuencia en tiene un punto de clúster en luego está totalmente acotado. [19] Un subconjunto de un televisor Hausdorff está totalmente limitado si y solo si cada ultrafiltro en es Cauchy, lo que ocurre si y solo si es precompacto (es decir, su cierre en la finalización de es compacto). [37]
Si es compacto, entonces y este conjunto es compacto. Por tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto [nota 9] (es decir, todos los conjuntos compactos son relativamente compactos ). [43] Por tanto, el cierre de un conjunto compacto es compacto. Cada subconjunto relativamente compacto de un TV de Hausdorff está totalmente limitado. [37]
En un espacio localmente convexo completo, el casco convexo y el casco en forma de disco de un conjunto compacto son ambos compactos. [33] De manera más general, si es un subconjunto compacto de un espacio localmente convexo, entonces el casco convexo (resp. el casco con discos ) es compacto si y solo si está completo. [33] Cada subconjunto de es compacto y por lo tanto completo. [prueba 3] En particular, sino es Hausdorff, entonces existen conjuntos completos compactos que no están cerrados. [3]
Ver también
- Espacio métrico completo : un conjunto con una noción de distancia donde convergerá cada secuencia de puntos que se acercan progresivamente entre sí.
- Filtro (matemáticas) : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
- Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio métrico : conjunto matemático que define la distancia
- Espacio vectorial topológico metrizable : un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir mediante una métrica
- Net (matemáticas) : una generalización de una secuencia de puntos
- Espacio pseudométrico - Generalización de espacios métricos en matemáticas
- Espacio cuasi-completo : un espacio vectorial topológico en el que cada subconjunto cerrado y acotado está completo
- Secuencialmente completo
- Grupo topológico : grupo que es un espacio topológico con acción grupal continua
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Espacio uniforme: espacio topológico con una noción de propiedades uniformes
Notas
- ^ Una métrica en un espacio vectorial se dice que es invariante a la traducción si para todos los vectores Una métrica inducida por una norma siempre es invariante en la traducción.
- ^ La integridad de los espacios normativos y los TVS metrizables se definen en términos de normas y métricas . En general,se pueden usarmuchas normas diferentes (por ejemplo, normas equivalentes ) y métricas para determinar la integridad de dicho espacio. Esto contrasta con la singularidad de esta uniformidad canónica invariable en la traducción.
- ^ Cada secuencia es también una red.
- ^ El espacio normado es un espacio de Banach donde el valor absoluto es una norma que induce la topología euclidiana habitual en Definir una métrica en por para todos donde uno puede mostrar que induce la topología euclidiana habitual en Sin emabargo, no es una métrica completa ya que la secuencia definido por es un -Secuencia de Cauchy que no converge en a cualquier punto de Tenga en cuenta también que esto -La secuencia de Cauchy no es una secuencia de Cauchy en (es decir, no es una secuencia de Cauchy con respecto a la norma ).
- ^ No se asume que sea invariante en la traducción.
- ^ Dejedenota el espacio de Banach de funciones continuas con la norma suprema, sea dónde se le da la topología inducida por y denotar la restricción de la norma L 1 a por Entonces uno puede mostrar que para que la norma es una función continua. Sin emabargo,no es equivalente a la norma y así en particular, no es un espacio de Banach.
- ^ Este mapa de cocientes en particular de hecho, también es un mapa cerrado.
- ^ Explícitamente, este mapa se define de la siguiente manera: para cada dejar y asi que Luego se mantiene para todos y
- ^ En la topología general, el cierre de un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff puede no ser compacto (por ejemplo, la topología de puntos particular en un conjunto infinito). Este resultado muestra que esto no sucede en TVS que no son de Hausdorff. La prueba usa y el hecho de que es compacto (pero posiblemente no cerrado) y es a la vez cerrado y compacto de modo que que es la imagen del conjunto compacto bajo el mapa de suma continua también es compacto. Recuerde también que la suma de un conjunto compacto (es decir,) y un conjunto cerrado está cerrado está cerrado en
- Pruebas
- ^ Deje ser un barrio del origen en Desde es un barrio de en podemos elegir un vecindario abierto (o cerrado) de en tal que es un barrio del origen. Claramente, está abierto (resp. cerrado) si y sólo si está abierto (resp. cerrado). Dejar así que eso dónde está abierto (resp. cerrado) si y sólo si está abierto (resp. cerrado).
- ^ Suponga es compacto en y deja ser un filtro Cauchy en Dejar así que eso es un filtro de Cauchy de conjuntos cerrados. Desde tiene la propiedad de intersección finita, existe alguna tal que para todos entonces { (es decir, es un punto de acumulación de ). Desde es Cauchy, en Por lo tanto Esta completo. Que también está totalmente acotado se desprende inmediatamente de la compacidad de
- ^ Dada cualquier tapa abierta de elige cualquier conjunto abierto de esa portada que contiene el origen. Desde es un barrio del origen, contiene y por lo tanto contiene
Citas
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