En topología y campos relacionados de las matemáticas , un espacio topológico X se llama espacio regular si cada subconjunto cerrado C de X y un punto p no contenido en C admiten vecindarios abiertos que no se superponen . [1] Por lo tanto, p y C pueden estar separados por vecindarios. Esta condición se conoce como Axiom T 3 . El término " espacio T 3 " generalmente significa "un espacio de Hausdorff regularEstas condiciones son ejemplos de axiomas de separación .
Axiomas de separación en espacios topológicos | |
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Clasificación de Kolmogorov | |
T 0 | (Kolmogorov) |
T 1 | (Fréchet) |
T 2 | (Hausdorff) |
T 2 ½ | (Urysohn) |
completamente T 2 | (completamente Hausdorff) |
T 3 | (Hausdorff regular) |
T 3½ | (Tychonoff) |
T 4 | (Hausdorff normal) |
T 5 | ( Hausdorff completamente normal ) |
T 6 | ( Hausdorff perfectamente normal ) |
Definiciones
Un espacio topológico X es un espacio regular si, dado cualquier conjunto cerrado F y cualquier punto x que no pertenezca a F , existe una vecindad U de x y una vecindad V de F que son disjuntos . Dicho de manera concisa, debe ser posible separar x y F con vecindarios disjuntos.
Un espacio T 3 o espacio regular de Hausdorff es un espacio topológico que es tanto regular como espacio de Hausdorff . (Un espacio de Hausdorff o espacio T 2 es un espacio topológico en el que dos puntos distintos están separados por vecindarios). Resulta que un espacio es T 3 si y solo si es tanto regular como T 0 . (AT 0 o el espacio de Kolmogorov es un espacio topológico en el que dos puntos distintos son topológicamente distinguibles , es decir, para cada par de puntos distintos, al menos uno de ellos tiene una vecindad abierta que no contiene al otro). Hausdorff entonces es T 0 , y cada espacio regular T 0 es Hausdorff: dados dos puntos distintos, al menos uno de ellos pierde el cierre del otro, por lo que (por regularidad) existen vecindarios disjuntos que separan un punto de (el cierre del otro.
Aunque las definiciones presentadas aquí para "regular" y "T 3 " no son infrecuentes, existe una variación significativa en la literatura: algunos autores cambian las definiciones de "regular" y "T 3 " como se usan aquí, o usan ambos términos indistintamente. En este artículo, usaremos el término "regular" libremente, pero usualmente diremos "Hausdorff regular", que es inequívoco, en lugar del menos preciso "T 3 ". Para obtener más información sobre este tema, consulte Historia de los axiomas de separación .
Un espacio localmente regular es un espacio topológico donde cada punto tiene un vecindario abierto que es regular. Todo espacio regular es localmente regular, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo clásico de un espacio localmente regular que no es regular es la línea de ojos saltones .
Relaciones con otros axiomas de separación
Un espacio regular también es necesariamente prerregular , es decir, dos puntos que se pueden distinguir topológicamente cualesquiera pueden estar separados por vecindarios. Dado que un espacio de Hausdorff es lo mismo que un espacio preregular T 0 , un espacio regular que también es T 0 debe ser Hausdorff (y por lo tanto T 3 ). De hecho, un espacio de Hausdorff normal satisface la condición ligeramente más fuerte T 2½ . (Sin embargo, tal espacio no necesita ser completamente Hausdorff .) Por lo tanto, la definición de T 3 puede citar T 0 , T 1 o T 2½ en lugar de T 2 (Hausdorffness); todos son equivalentes en el contexto de espacios regulares.
Hablando más teóricamente, las condiciones de regularidad y T 3 están relacionadas por cocientes de Kolmogorov . Un espacio es regular si y solo si su cociente de Kolmogorov es T 3 ; y, como se mencionó, un espacio es T 3 si y solo si es tanto regular como T 0 . Por lo tanto, se puede suponer que un espacio regular encontrado en la práctica es T 3 , reemplazando el espacio con su cociente de Kolmogorov.
Hay muchos resultados para espacios topológicos que son válidos tanto para espacios regulares como para espacios de Hausdorff. La mayoría de las veces, estos resultados son válidos para todos los espacios preregulares; se enumeraron para los espacios regulares y de Hausdorff por separado porque la idea de los espacios prerregulares surgió más tarde. Por otro lado, los resultados que realmente tienen que ver con la regularidad generalmente no se aplican también a los espacios de Hausdorff no regulares.
Hay muchas situaciones en las que otra condición de los espacios topológicos (como la normalidad , la pseudonormalidad , la paracompactancia o la compacidad local ) implicará regularidad si se satisface algún axioma de separación más débil, como la preregularidad. Estas condiciones suelen presentarse en dos versiones: una versión normal y una versión de Hausdorff. Aunque los espacios de Hausdorff no son generalmente regulares, un espacio de Hausdorff que también (digamos) localmente compacto será regular, porque cualquier espacio de Hausdorff es preregular. Por lo tanto, desde cierto punto de vista, la regularidad no es realmente el problema aquí, y podríamos imponer una condición más débil para obtener el mismo resultado. Sin embargo, las definiciones todavía suelen estar redactadas en términos de regularidad, ya que esta condición es más conocida que cualquier otra más débil.
La mayoría de los espacios topológicos estudiados en análisis matemático son regulares; de hecho, suelen ser completamente regulares , que es una condición más fuerte. Los espacios regulares también deben contrastarse con los espacios normales .
Ejemplos y no ejemplos
Un espacio de dimensión cero con respecto a la dimensión inductiva pequeña tiene una base que consta de conjuntos abiertos . Cada uno de esos espacios es regular.
Como se describió anteriormente, cualquier espacio completamente regular es regular, y cualquier espacio T 0 que no sea de Hausdorff (y por lo tanto no prerregular) no puede ser regular. La mayoría de los ejemplos de espacios regulares y no regulares estudiados en matemáticas se pueden encontrar en esos dos artículos. Por otro lado, los espacios que son regulares pero no completamente regulares, o prerregulares pero no regulares, generalmente se construyen solo para proporcionar contraejemplos de conjeturas, mostrando los límites de posibles teoremas . Por supuesto, uno puede encontrar fácilmente espacios regulares que no son T 0 y, por lo tanto, no Hausdorff, como un espacio indiscreto , pero estos ejemplos proporcionan más información sobre el axioma T 0 que sobre la regularidad. Un ejemplo de un espacio regular que no es completamente regular es el sacacorchos Tychonoff .
Los espacios más interesantes en matemáticas que son regulares también satisfacen alguna condición más fuerte. Por lo tanto, los espacios regulares generalmente se estudian para encontrar propiedades y teoremas, como los que se muestran a continuación, que en realidad se aplican a espacios completamente regulares, generalmente en análisis.
Existen espacios de Hausdorff que no son regulares. Un ejemplo es el conjunto R con la topología generada por los conjuntos de la forma de U - C , donde U es un conjunto abierto en el sentido habitual, y C es cualquier subconjunto numerable de U .
Propiedades elementales
Suponga que X es un espacio regular. Entonces, dado cualquier punto x y el vecindario G de x , existe un entorno cerrado E de x que es un subconjunto de G . En términos más elegantes, los vecindarios cerrados de x forman una base local en x . De hecho, esta propiedad caracteriza los espacios regulares; si las vecindades cerradas de cada punto en un espacio topológico forman una base local en ese punto, entonces el espacio debe ser regular.
Tomando los interiores de estos barrios cerrados, vemos que los conjuntos abiertos regulares forman una base de para los conjuntos abiertos del espacio regular de X . Esta propiedad es en realidad más débil que la regularidad; un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares forman una base es semirregular .
Referencias
- ^ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.