En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, un espacio topológicose dice que es metrizable si hay una métrica tal que la topología inducida por es . [1] [2] Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable.
Propiedades
Los espacios métricos heredan todas las propiedades topológicas de los espacios métricos. Por ejemplo, son espacios paracompactos de Hausdorff (y por lo tanto normales y Tychonoff ) y primeros contables . Sin embargo, no se puede decir que algunas propiedades de la métrica, como la completitud, sean heredadas. Esto también es válido para otras estructuras vinculadas a la métrica. Un espacio uniforme metrizable , por ejemplo, puede tener un conjunto diferente de mapas de contracción que un espacio métrico al que es homeomórfico.
Teoremas de metrización
Uno de los primeros teoremas de metrización ampliamente reconocidos fue Teorema de metrización de Urysohn . Esto establece que cadasegundo espacio regularcontable deHausdorffes metrizable. Entonces, por ejemplo, cada segundocolectorcontablees metrizable. (Nota histórica: La forma del teorema que se muestra aquí fue de hecho probada porTychonoffen 1926. Lo queUrysohnhabía demostrado, en un artículo publicado póstumamente en 1925, era que cada segundoespacio de Hausdorff normal contablees metrizable). Lo contrario no se cumple: existen espacios métricos que no son contables en segundo lugar, por ejemplo, un conjunto incontable dotado de la métrica discreta. [3] Elteorema de metrización de Nagata-Smirnov, que se describe a continuación, proporciona un teorema más específico donde se mantiene lo contrario.
Varios otros teoremas de metrización siguen como simples corolarios del teorema de Urysohn. Por ejemplo, un espacio compacto de Hausdorff es metrizable si y solo si es contable en segundo lugar.
El teorema de Urysohn se puede reformular como: Un espacio topológico es separable y metrizable si y solo si es regular, de Hausdorff y contable en segundo lugar. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov extiende esto al caso no separable. Establece que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular, Hausdorff y tiene una base σ-localmente finita. Una base σ-localmente finita es una base que es una unión de innumerables colecciones localmente finitas de conjuntos abiertos. Para conocer un teorema estrechamente relacionado, consulte el teorema de metrización de Bing .
Los espacios metrizables separables también se pueden caracterizar como aquellos espacios que son homeomorfos a un subespacio del cubo de Hilbert. , es decir, el producto numerablemente infinito del intervalo unitario (con su topología subespacial natural de los reales) consigo mismo, dotado de la topología del producto .
Se dice que un espacio es localmente metrizable si cada punto tiene un vecindario metrizable . Smirnov demostró que un espacio localmente metrizable es metrizable si y solo si es Hausdorff y paracompacto . En particular, un colector es metrizable si y solo si es paracompacto.
Ejemplos de
El grupo de operadores unitarios en un espacio separable de Hilbert dotado de la topología de operador fuerte es metrizable (ver Proposición II.1 en [4] ).
Ejemplos de espacios no metrizables
Los espacios no normales no pueden ser metrizables; ejemplos importantes incluyen
- la topología de Zariski en una variedad algebraica o en el espectro de un anillo , usada en geometría algebraica ,
- el espacio vectorial topológico de todas las funciones desde la línea real R a sí misma, con la topología de convergencia puntual .
La línea real con la topología de límite inferior no es metrizable. La función de distancia habitual no es una métrica en este espacio porque la topología que determina es la topología habitual, no la topología de límite inferior. Este espacio es Hausdorff, paracompacto y primer contable.
La línea larga es localmente metrizable pero no metrizable; en cierto sentido, es "demasiado largo".
Ver también
- Métrica apolínea
- Teorema de metrización de Bing
- Televisores metrizables
- Espacio de Moore (topología)
- Teorema de metrización de Nagata-Smirnov
- Uniformizabilidad , la propiedad de un espacio topológico de ser homeomorfo a un espacio uniforme , o equivalentemente la topología definida por una familia de pseudometría
Referencias
- ^ Simón, Jonathan. "Teoremas de metrización" (PDF) . Consultado el 16 de junio de 2016 .
- ^ Munkres, James (1999). Topología (segunda edición) . Pearson . pag. 119.
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 25 de septiembre de 2011 . Consultado el 8 de agosto de 2012 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
- ^ Neeb, Karl-Hermann, Sobre un teorema de S. Banach. J. Lie Theory 7 (1997), núm. 2, 293–300.
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