En aritmética , un sistema de base compleja es un sistema numérico posicional cuya base es un número imaginario (propuesto por Donald Knuth en 1955 [1] [2] ) o complejo (propuesto por S. Khmelnik en 1964 [3] y Walter F. Penney en 1965 [4] [5] [6] ).
En general
Dejar ser un dominio integral , y el valor absoluto (de Arquímedes) en él.
Un número en un sistema numérico posicional se representa como una expansión
dónde
es la raíz (o base ) con, es el exponente (posición o lugar), son dígitos del conjunto finito de dígitos, generalmente con
La cardinalidad se llama nivel de descomposición .
Un sistema numérico posicional o un sistema de codificación es un par
con radix y conjunto de dígitos , y escribimos el conjunto estándar de dígitos con dígitos como
Son deseables los sistemas de codificación con las características:
- Cada número en , e. gramo. los enteros, los enteros gaussianos o los enteros , se puede representar de forma única como un código finito , posiblemente con un signo ±.
- Cada número en el campo de las fracciones. , que posiblemente se complete para la métrica dada por flexible o , es representable como una serie infinita que converge bajo por , y la medida del conjunto de números con más de una representación es 0. Este último requiere que el conjunto ser mínimo, es decir para números reales y para números complejos.
En los números reales
En esta notación, nuestro esquema de codificación decimal estándar se denota por
el sistema binario estándar es
el sistema negabinario es
y el sistema ternario equilibrado [2] es
Todos estos sistemas de codificación tienen las características mencionadas para y , y los dos últimos no requieren señal.
En los números complejos
Los sistemas de números posicionales bien conocidos para los números complejos incluyen los siguientes (siendo la unidad imaginaria ):
- , p.ej [1] y
- , [2] la base quater-imaginaria , propuesta por Donald Knuth en 1955.
- y
- [3] [5] (ver también la sección Base −1 ± i más abajo).
- , dónde , y es un número entero positivo que puede tomar varios valores en un determinado . [7] Para y este es el sistema
- . [8]
- , donde el set consta de números complejos y números , p.ej
- , dónde [9]
Sistemas binarios
Sistemas de codificación binaria de números complejos, es decir, sistemas con dígitos., son de interés práctico. [9] A continuación se enumeran algunos sistemas de codificación.(todos son casos especiales de los sistemas anteriores) y resp. códigos para los números (decimales) -1, 2, -2, i . El sistema binario estándar (que requiere un signo, primera línea) y los sistemas "negabinarios" (segunda línea) también se enumeran para comparar. No tienen una expansión genuina para i .
Base | –1 ← | 2 ← | –2 ← | yo ← | Gemelos y trillizos | |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | –1 | 10 | –10 | I | 1 ← | 0, 1 = 1, 0 |
–2 | 11 | 110 | 10 | I | 1/3 ← | 0. 01 = 1. 10 |
101 | 10100 | 100 | 10.101010100 ... [11] | ← | 0. 0011 = 11. 1100 | |
111 | 1010 | 110 | 11.110001100 ... [11] | ← | 1. 011 = 11. 101 = 11100. 110 | |
101 | 10100 | 100 | 10 | 1/3 + 1/3yo ← | 0. 0011 = 11. 1100 | |
–1+ i | 11101 | 1100 | 11100 | 11 | 1/5 + 3/5yo ← | 0. 010 = 11. 001 = 1110. 100 |
2 yo | 103 | 2 | 102 | 10,2 | 1/5 + 2/5yo ← | 0. 0033 = 1. 3003 = 10. 0330 = 11. 3300 |
Como en todos los sistemas numéricos posicionales con un valor absoluto de Arquímedes , hay algunos números con representaciones múltiples . En la columna de la derecha de la tabla se muestran ejemplos de tales números. Todos ellos son fracciones repetidas con la repetición marcada con una línea horizontal encima.
Si el conjunto de dígitos es mínimo, el conjunto de dichos números tiene una medida de 0. Este es el caso de todos los sistemas de codificación mencionados.
El sistema quater-imaginario casi binario se enumera en la línea inferior para fines de comparación. Allí, la parte real e imaginaria se entrelazan.
Base −1 ± i
De particular interés son los sistemas quater-imaginary base (base 2 i ) y base -1 ± i que se analizan a continuación, los cuales pueden usarse para representar de forma finita los enteros gaussianos sin signo.
La base -1 ± i , usando los dígitos 0 y 1 , fue propuesta por S. Khmelnik en 1964 [3] y Walter F. Penney en 1965. [4] [6] La región de redondeo de un número entero, es decir, un conjuntode números complejos (no enteros) que comparten la parte entera de su representación en este sistema - tiene en el plano complejo una forma fractal: el dragón gemelo (ver figura). Este conjunto es, por definición, todos los puntos que se pueden escribir como con . se puede descomponer en 16 piezas congruentes a . Note que si gira 135 ° en sentido antihorario, obtenemos dos conjuntos adyacentes congruentes a , porque . El rectángulo en el centro intersecta los ejes de coordenadas en sentido antihorario en los siguientes puntos: , , y , y . Por lo tanto, contiene todos los números complejos con valor absoluto ≤ 1/15. [12]
Como consecuencia, hay una inyección del rectángulo complejo
en el intervalo de números reales por mapeo
con . [13]
Además, existen las dos asignaciones
y
ambos sobreyectivos , que dan lugar a un mapeo sobreyectivo (por lo tanto, que llena el espacio)
que, sin embargo, no es continua y, por tanto, no es una curva de relleno de espacio . Pero un pariente muy cercano, el dragón Davis-Knuth , es continuo y una curva que llena el espacio.
Ver también
- Curva de dragón
Referencias
- ↑ a b Knuth, DE (1960). "Un sistema numérico imaginario". Comunicaciones de la ACM . 3 (4): 245–247. doi : 10.1145 / 367177.367233 .
- ^ a b c Knuth, Donald (1998). "Sistemas de números posicionales". El arte de la programación informática . Volumen 2 (3ª ed.). Boston: Addison-Wesley. pag. 205. ISBN 0-201-89684-2. OCLC 48246681 .
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - ^ a b c Khmelnik, SI (1964). "Computadora digital especializada para operaciones con números complejos". Cuestiones de radioelectrónica (en ruso) . XII (2).
- ^ a b W. Penney, Un sistema "binario" para números complejos, JACM 12 (1965) 247-248.
- ^ a b Jamil, T. (2002). "El complejo sistema de números binarios". Potenciales IEEE . 20 (5): 39–41. doi : 10.1109 / 45.983342 .
- ^ a b Duda, Jarek (24 de febrero de 2008). "Sistemas complejos de numeración de base". arXiv : 0712.1309 [ matemáticas.DS ].
- ^ Khmelnik, SI (1966). "Codificación posicional de números complejos". Cuestiones de radioelectrónica (en ruso) . XII (9).
- ^ a b Khmelnik, SI (2004). Codificación de números complejos y vectores (en ruso) (PDF) . Israel: Matemáticas en Computación. ISBN 978-0-557-74692-7.
- ^ a b Khmelnik, SI (2001). Método y sistema para procesar números complejos . Patente de EE. UU., US2003154226 (A1).
- ^ William J. Gilbert, Revista de matemáticas "Aritmética en bases complejas" Vol. 57, No. 2, marzo de 1984
- ^ a b secuencia infinita no repetida
- ^ Knuth 1998 p.206
- ^ Base no se puede tomar porque ambos, y . Sin emabargo, es desigual a .
enlaces externos
- " Sistemas numéricos que utilizan una base compleja " por Jarek Duda, el proyecto de demostraciones Wolfram
- " El límite de los sistemas de funciones iteradas periódicas " por Jarek Duda, el Proyecto de demostraciones de Wolfram
- " Sistemas numéricos en 3D " de Jarek Duda, el proyecto de demostraciones Wolfram