En matemáticas, un álgebra de Lie compleja es un álgebra de Lie sobre números complejos.
Dada un álgebra de mentira compleja , su conjugado es un álgebra de Lie compleja con el mismo espacio vectorial real subyacente pero con actuando como en lugar de. [1] Como álgebra de Lie real, un álgebra de Lie complejaes trivialmente isomorfo a su conjugado. Un álgebra de Lie compleja es isomorfa a su conjugado si y solo si admite una forma real (y se dice que se define sobre los números reales).
Forma real
Dada un álgebra de mentira compleja , un verdadero álgebra de mentira se dice que es una forma real desi la complexificación es isomorfo a .
Una forma real es abeliano (resp. nilpotente, solucionable, semisimple) si y solo si es abeliano (resp. nilpotente, solucionable, semisimple). [2] Por otro lado, una forma reales simple si y solo si es simple o es de la forma dónde son simples y son conjugados entre sí. [2]
La existencia de una forma real en un álgebra de Lie compleja implica que es isomorfo a su conjugado; [1] de hecho, si, luego deja denotar el -isomorfismo lineal inducido por conjugado complejo y luego
- ,
que es decir es de hecho un -isomorfismo lineal.
Por el contrario, suponga que hay un -isomorfismo lineal ; sin pérdida de generalidad, podemos asumir que es la función de identidad en el espacio vectorial real subyacente. Entonces define, que es claramente un álgebra de Lie real. Cada elemento en se puede escribir de forma única como . Aquí, y de manera similar arregla . Por eso,; es decir, es una forma real.
Álgebra de Lie compleja de un grupo de Lie complejo
Dejar ser un álgebra de Lie compleja semisimple que es el álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo . Dejarser una subálgebra de Cartan de y el subgrupo de Lie correspondiente a ; los conjugados dese denominan subgrupos de Cartan .
Supongamos que existe la descomposición dado por una selección de raíces positivas. Entonces el mapa exponencial define un isomorfismo de a un subgrupo cerrado . [3] El subgrupo de Liecorrespondiente a la subálgebra de Borel es cerrado y es el producto semidirecto de y ; [4] los conjugados dese denominan subgrupos de Borel .
Notas
Referencias
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Knapp, AW (2002). Grupos de mentiras más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. 120 (2ª ed.). Boston · Basilea · Berlín: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5..
- Jean-Pierre Serre: Álgebras de Lie semisimple compleja, Springer, Berlín, 2001. ISBN 3-5406-7827-1