En matemáticas , los complejos teorema raíz conjugado estados que si P es un polinomio en una variable con reales coeficientes , y un + bi es una raíz de P con una y b números reales, entonces su conjugado complejo un - bi es también una raíz de P . [1]
De esto se sigue (y del teorema fundamental del álgebra ) que si el grado de un polinomio real es impar, debe tener al menos una raíz real. [2] Este hecho también puede demostrarse mediante el teorema del valor intermedio .
Ejemplos y consecuencias
- El polinomio x 2 + 1 = 0 tiene raíces ± i .
- Cualquier matriz cuadrada real de grado impar tiene al menos un valor propio real . Por ejemplo, si la matriz es ortogonal , entonces 1 o -1 es un valor propio.
- El polinomio
- tiene raíces
- y por lo tanto se puede factorizar como
- Al calcular el producto de los dos últimos factores, las partes imaginarias se cancelan y obtenemos
- Los factores no reales vienen en pares que cuando se multiplican dan polinomios cuadráticos con coeficientes reales. Dado que cada polinomio con coeficientes complejos se puede factorizar en factores de 1er grado (que es una forma de enunciar el teorema fundamental del álgebra ), se deduce que cada polinomio con coeficientes reales se puede factorizar en factores de grado no superiores a 2: solo 1er. -grados y factores cuadráticos.
- Si las raíces son a + bi y a-bi , forman una cuadrática
- .
Si la tercera raíz es c , esto se convierte en
- .
Corolario sobre polinomios de grado impar
Del presente teorema y del teorema fundamental del álgebra se deduce que si el grado de un polinomio real es impar, debe tener al menos una raíz real. [2]
Esto se puede probar de la siguiente manera.
- Dado que las raíces complejas no reales vienen en pares conjugados, hay un número par de ellas;
- Pero un polinomio de grado impar tiene un número impar de raíces;
- Por tanto, algunos de ellos deben ser reales.
Esto requiere cierto cuidado en presencia de múltiples raíces ; pero una raíz compleja y su conjugado tienen la misma multiplicidad (y este lema no es difícil de probar). También se puede solucionar considerando solo polinomios irreducibles ; cualquier polinomio real de grado impar debe tener un factor irreductible de grado impar, el cual (sin raíces múltiples) debe tener una raíz real según el razonamiento anterior.
Este corolario también se puede demostrar directamente mediante el teorema del valor intermedio .
Prueba
Una prueba del teorema es la siguiente: [2]
Considere el polinomio
donde todos los a r son reales. Suponga que algún número complejo ζ es una raíz de P , es decir, P ( ζ ) = 0. Es necesario demostrar que
también.
Si P ( ζ ) = 0, entonces
que se puede poner como
Ahora
y dadas las propiedades de la conjugación compleja ,
Desde,
resulta que
Es decir,
Tenga en cuenta que esto funciona solo porque los a r son reales, es decir,. Si alguno de los coeficientes fuera no real, las raíces no vendrían necesariamente en pares conjugados.
Notas
- ^ Anthony G. O'Farell y Gary McGuire (2002). "Números complejos, 8.4.2 Raíces complejas de polinomios reales". Manual de la Olimpiada Matemática de Maynooth . Prensa lógica. pag. 104. ISBN 0954426908.Vista previa disponible en Google libros
- ^ a b c Alan Jeffrey (2005). "Funciones analíticas". Análisis y aplicaciones complejas . Prensa CRC. págs. 22-23. ISBN 158488553X.