Polinomio cuadrático complejo

Un polinomio cuadrático complejo es un polinomio cuadrático cuyos coeficientes y variables son números complejos .

Propiedades

Los polinomios cuadráticos tienen las siguientes propiedades, independientemente de la forma:

• Es un polinomio unicrítico , es decir, tiene un punto crítico ,
• Puede ser poscríticamente finito , es decir, la órbita del punto crítico puede ser finita, porque el punto crítico es periódico o preperiódico. ^[1]
• Es una función unimodal ,
• Es una función racional ,
• Es una función completa .

Formularios

Cuando el polinomio cuadrático tiene solo una variable ( univariante ), se pueden distinguir sus cuatro formas principales:

• La forma general: donde${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle a_{2}\neq 0}$
• La forma factorizada utilizada para el mapa logístico. ${\displaystyle f_{r}(x)=rx(1-x)}$
• ${\displaystyle f_{\theta }(x)=x^{2}+\lambda x}$ que tiene un punto fijo indiferente con un multiplicador en el origen ^[2]${\displaystyle \lambda =e^{2\pi \theta i}}$
• La forma monica y centrada, ${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

La forma mónica y centrada se ha estudiado ampliamente y tiene las siguientes propiedades:

• Es la forma más simple de una función no lineal con un coeficiente ( parámetro ),
• Es un polinomio centrado (la suma de sus puntos críticos es cero). ^[3]

La forma lambda es:${\displaystyle f_{\lambda }(z)=z^{2}+\lambda z}$

• la perturbación no trivial más simple de un sistema no perturbado ${\displaystyle z\mapsto \lambda z}$
• "la primera familia de sistemas dinámicos en los que se conocen las condiciones explícitas necesarias y suficientes para cuando un pequeño problema de divisor es estable" ^[4]

Conjugación

Entre formas

Dado que es afín conjugado a la forma general del polinomio cuadrático, a menudo se usa para estudiar dinámicas complejas y para crear imágenes de conjuntos de Mandelbrot , Julia y Fatou .${\displaystyle f_{c}(x)}$

Cuando se quiere cambiar de a : ^[5]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(\theta )={\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\left(1-{\frac {e^{2\pi \theta i}}{2}}\right).}$

Cuando se quiere cambiar de a , la transformación del parámetro es ^[6]${\displaystyle r}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c=c(r)={\frac {1-(r-1)^{2}}{4}}=-{\frac {r}{2}}\left({\frac {r-2}{2}}\right)}$

y la transformación entre las variables en y es${\displaystyle z_{t+1}=z_{t}^{2}+c}$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t})}$

${\displaystyle z=r\left({\frac {1}{2}}-x\right).}$

Con mapa duplicado

Existe una semi-conjugación entre la transformación diádica (el mapa de duplicación) y el caso polinomial cuadrático de c = –2.

Notación

Iteración

Aquí denota la n -ésima iteración de la función (y no la exponenciación de la función):${\displaystyle f^{n}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f_{c}^{n}(z)=f_{c}^{1}(f_{c}^{n-1}(z))}$

entonces

${\displaystyle z_{n}=f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Debido a la posible confusión con exponenciación, algunos autores escriben para el n º iteración de la función .${\displaystyle f^{\circ n}}$${\displaystyle f}$

Parámetro

La forma mónica y centrada se puede marcar con:${\displaystyle f_{c}(x)=x^{2}+c}$

• El parámetro ${\displaystyle c}$
• el ángulo externo del rayo que aterriza:${\displaystyle \theta }$
  • en c en M en el plano del parámetro
  • en z = c en J (f) en el plano dinámico

entonces :

${\displaystyle f_{c}=f_{\theta }}$

${\displaystyle c=c({\theta })}$

Mapa

La forma mónica y centrada, a veces llamada la familia de polinomios cuadráticos de Douady-Hubbard , ^[7] se usa típicamente con variable y parámetro :${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

Cuando se usa como una función de evolución del sistema dinámico no lineal discreto

${\displaystyle z_{n+1}=f_{c}(z_{n})}$

se llama mapa cuadrático : ^[8]

${\displaystyle f_{c}:z\to z^{2}+c.}$

El conjunto de Mandelbrot es el conjunto de valores del parámetro c para el cual la condición inicial z ₀ = 0 no hace que las iteraciones diverjan hasta el infinito.

Elementos críticos

Punto crítico

Un punto crítico de es un punto en el plano dinámico tal que la derivada desaparece:${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{cr})=0.}$

Desde

${\displaystyle f_{c}'(z)={\frac {d}{dz}}f_{c}(z)=2z}$

implica

${\displaystyle z_{cr}=0}$

vemos que el único punto crítico (finito) de es el punto .${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{0}}$es un punto inicial para la iteración de conjuntos de Mandelbrot . ^[9]

Valor crítico

Un valor crítico de es la imagen de un punto crítico:${\displaystyle z_{cv}}$${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle z_{cv}=f_{c}(z_{cr})}$

Desde

${\displaystyle z_{cr}=0}$

tenemos

${\displaystyle z_{cv}=c.}$

Entonces el parámetro es el valor crítico de .${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)}$

Órbita crítica

Plano dinámico con órbita crítica que cae en un ciclo de 3 períodos

Plano dinámico con conjunto de Julia y órbita crítica.

Plano dinámico: cambios de órbita crítica a lo largo del rayo interno del cardioide principal para el ángulo 1/6

Órbita crítica que tiende a atraer débilmente un punto fijo con abs (multiplicador) = 0,99993612384259

La órbita de avance de un punto crítico se llama órbita crítica . Las órbitas críticas son muy importantes porque cada órbita periódica de atracción atrae un punto crítico, por lo que estudiar las órbitas críticas nos ayuda a comprender la dinámica en el conjunto de Fatou . ^{[10] [11] [12]}

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}=0}$

${\displaystyle z_{1}=f_{c}(z_{0})=c}$

${\displaystyle z_{2}=f_{c}(z_{1})=c^{2}+c}$

${\displaystyle z_{3}=f_{c}(z_{2})=(c^{2}+c)^{2}+c}$

${\displaystyle \vdots }$

Esta órbita cae en un ciclo periódico de atracción si existe.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Órbitas críticas .

Sector crítico

El sector crítico es un sector del plano dinámico que contiene el punto crítico.

Polinomio crítico

${\displaystyle P_{n}(c)=f_{c}^{n}(z_{cr})=f_{c}^{n}(0)}$

entonces

${\displaystyle P_{0}(c)=0}$

${\displaystyle P_{1}(c)=c}$

${\displaystyle P_{2}(c)=c^{2}+c}$

${\displaystyle P_{3}(c)=(c^{2}+c)^{2}+c}$

Estos polinomios se utilizan para:

• encontrar centros de estos componentes del conjunto de Mandelbrot del período n . Los centros son raíces de n -ésimo polinomios críticos

${\displaystyle {\text{centers}}=\{c:P_{n}(c)=0\}}$

• encontrar raíces de los componentes del conjunto de Mandelbrot del período n ( mínimo local de )${\displaystyle P_{n}(c)}$
• Puntos Misiurewicz

${\displaystyle M_{n,k}=\{c:P_{k}(c)=P_{k+n}(c)\}}$

Curvas críticas

Curvas críticas

Los diagramas de polinomios críticos se denominan curvas críticas . ^[13]

Estas curvas crean el esqueleto (las líneas oscuras) de un diagrama de bifurcación . ^{[14] [15]}

Espacios, planos

Espacio 4D

Se puede utilizar el espacio de 4 dimensiones (4D) de Julia-Mandelbrot para un análisis global de este sistema dinámico. ^[dieciséis]

plano w y plano c

En este espacio hay 2 tipos básicos de planos 2-D:

• el plano dinámico (dinámico), plano o plano c${\displaystyle f_{c}}$
• el plano de parámetro o plano z

También hay otro plano utilizado para analizar tales sistemas dinámicos w-plane :

• el plano de conjugación ^[17]
• modelo de avión ^[18]

Plano de parámetros 2D

Plano de parámetros gamma para mapas logísticos complejos ${\displaystyle z_{n+1}=\gamma z_{n}\left(1-z_{n}\right),}$

Mapa multiplicador

El espacio de fase de un mapa cuadrático se denomina plano de parámetros . Aquí:

${\displaystyle z_{0}=z_{cr}}$es constante y es variable.${\displaystyle c}$

Aquí no hay dinámica. Es solo un conjunto de valores de parámetros. No hay órbitas en el plano de parámetros.

El plano de parámetros consta de:

• El conjunto de Mandelbrot
  • El lugar de la bifurcación = límite de Mandelbrot establecido con
    • puntos de raíz
  • Componentes hiperbólicos acotados del conjunto de Mandelbrot = interior del conjunto de Mandelbrot ^[19] con rayos internos
• exterior de Mandelbrot con
  • rayos externos
  • líneas equipotenciales

Hay muchos subtipos diferentes del plano de parámetros. ^{[20] [21]}

Ver también :

• Mapa de Boettcher que asigna el exterior del conjunto de Mandelbrot al exterior del disco de la unidad
• mapa multiplicador que mapea el interior del componente hiperbólico del conjunto de Mandelbrot al interior del disco unitario

Plano dinámico 2D

"El polinomio Pc mapea cada rayo dinámico con otro rayo duplicando el ángulo (que medimos en giros completos, es decir, 0 = 1 = 2π rad = 360◦), y los rayos dinámicos de cualquier polinomio" parecen rayos rectos "cerca del infinito. Esto nos permite estudiar los conjuntos de Mandelbrot y Julia de manera combinatoria, reemplazando el plano dinámico por el círculo unitario, los rayos por ángulos y el polinomio cuadrático por el mapa de módulo uno de duplicación ". Virpi Kauko ^[22]

En el plano dinámico se puede encontrar:

• El set de Julia
• El set de Filled Julia
• El set de Fatou
• Órbitas

El plano dinámico consta de:

• Conjunto de fatou
• Conjunto de Julia

Aquí, es una constante y es una variable.${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$

El plano dinámico bidimensional se puede tratar como una sección transversal de Poincaré del espacio tridimensional de un sistema dinámico continuo. ^{[23] [24]}

Los planos z dinámicos se pueden dividir en dos grupos:

• ${\displaystyle f_{0}}$plano para (ver mapa de cuadratura compleja )${\displaystyle c=0}$
• ${\displaystyle f_{c}}$aviones (todos los demás aviones para )${\displaystyle c\neq 0}$

Esfera de Riemann

El plano complejo extendido más un punto en el infinito

• la esfera de Riemann

Derivados

Primera derivada con respecto a c

En el plano de los parámetros:

• ${\displaystyle c}$ es una variable
• ${\displaystyle z_{0}=0}$ es constante

La primera derivada de con respecto a c es${\displaystyle f_{c}^{n}(z_{0})}$

${\displaystyle z_{n}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0}).}$

Esta derivada se puede encontrar iterando comenzando con

${\displaystyle z_{0}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{0}(z_{0})=1}$

y luego reemplazando en cada paso consecutivo

${\displaystyle z_{n+1}'={\frac {d}{dc}}f_{c}^{n+1}(z_{0})=2\cdot {}f_{c}^{n}(z)\cdot {\frac {d}{dc}}f_{c}^{n}(z_{0})+1=2\cdot z_{n}\cdot z_{n}'+1.}$

Esto se puede verificar fácilmente usando la regla de la cadena para la derivada.

Esta derivada se utiliza en el método de estimación de distancia para dibujar un conjunto de Mandelbrot .

Primera derivada con respecto a z

En el plano dinámico:

• ${\displaystyle z}$ es una variable;
• ${\displaystyle c}$ es una constante.

En un punto fijo ,${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f_{c}'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}(z_{0})=2z_{0}.}$

En un punto periódico z ₀ del período p, la primera derivada de una función

${\displaystyle (f_{c}^{p})'(z_{0})={\frac {d}{dz}}f_{c}^{p}(z_{0})=\prod _{i=0}^{p-1}f_{c}'(z_{i})=2^{p}\prod _{i=0}^{p-1}z_{i}=\lambda }$

a menudo se representa y se denomina multiplicador o número característico de Lyapunov. Su logaritmo se conoce como exponente de Lyapunov. Solía ​​comprobar la estabilidad de puntos periódicos (también fijos) .${\displaystyle \lambda }$

En un punto no periódico , la derivada, denotada por , se puede encontrar por iteración comenzando con${\displaystyle z'_{n}}$

${\displaystyle z'_{0}=1,}$

y luego usando

${\displaystyle z'_{n}=2*z_{n-1}*z'_{n-1}.}$

Esta derivada se usa para calcular la distancia externa al conjunto de Julia.

Derivado de Schwarzian

La derivada de Schwarzian (SD para abreviar) de f es: ^[25]

${\displaystyle (Sf)(z)={\frac {f'''(z)}{f'(z)}}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {f''(z)}{f'(z)}}\right)^{2}.}$

Ver también

• Punto Misiurewicz
• Puntos periódicos de asignaciones cuadráticas complejas
• Conjunto de Mandelbrot
• Conjunto de Julia
• Teoría del amasado de Milnor-Thurston
• Mapa de la tienda
• Mapa logístico

Referencias

1. Alfredo Poirier: Sobre polinomios post críticamente finitos, primera parte: Retratos críticos
2. Michael Yampolsky, Saeed Zakeri: Polinomios cuadráticos de apareamiento de Siegel.
3. Bodil Branner : Sistemas dinámicos holomorfos en el plano complejo. Informe Mat No 1996-42. Universidad técnica de Dinamarca
4. Sistemas dinámicos y pequeños divisores, Editores: Stefano Marmi, Jean-Christophe Yoccoz, página 46
5. Michael Yampolsky, Saeed Zakeri: Polinomios cuadráticos de apareamiento de Siegel.
6. Preguntas de intercambio de pila: Demuestre que el mapa logístico familiar ...
7. Yunping Jing: Conectividad local del conjunto de Mandelbrot en ciertos puntos infinitamente renormalizables Dinámica compleja y temas relacionados, Nuevos estudios en matemáticas avanzadas, 2004, The International Press, 236-264
8. Weisstein, Eric W. "Mapa cuadrático". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram
9. Programa Java de Dieter Röß que muestra el resultado de cambiar el punto inicial de las iteraciones de Mandelbrot. Archivado el 26 de abril de 2012 en Wayback Machine.
10. M. Romera Archivado el 22 de junio de 2008 en Wayback Machine , G. Pastor Archivado el 1 de mayo de 2008 en Wayback Machine y F. Montoya: Multifurcaciones en puntos fijos no hiperbólicos del mapa de Mandelbrot. Archivado el 11 de diciembre de 2009 en Wayback Machine Fractalia Archivado el 19 de septiembre de 2008 en Wayback Machine 6, No. 21, 10-12 (1997)
11. Burns AM  : Trazando el escape: una animación de bifurcaciones parabólicas en el conjunto de Mandelbrot. Revista de matemáticas, vol. 75, núm. 2 (abril de 2002), págs. 104-116
12. Khan Academy: Mandelbrot Spirals 2
13. El camino al caos está lleno de curvas polinómicas por Richard D. Neidinger y R. John Annen III. American Mathematical Monthly, vol. 103, núm. 8, octubre de 1996, págs. 640-653
14. Hao, Bailin (1989). Dinámica simbólica elemental y caos en sistemas disipativos . World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3. Archivado desde el original el 5 de diciembre de 2009 . Consultado el 2 de diciembre de 2009 .
15. M. Romera, G. Pastor y F. Montoya, "Puntos Misiurewicz en mapas cuadráticos unidimensionales", Physica A, 232 (1996), 517-535. Preprint Archivado el 2 de octubre de 2006 en Wayback Machine.
16. Espacio Julia-Mandelbrot en Mu-ENCY (la enciclopedia del conjunto de Mandelbrot) por Robert Munafo
17. Carleson, Lennart, Gamelin, Theodore W .: Serie de dinámica compleja: Universitext, Subseries: Universitext: Tracts in Mathematics, 1ª ed. 1993. Corr. Segunda impresión, 1996, IX, 192 p. 28 ilustraciones, ISBN 978-0-387-97942-7 
18. Movimientos holomórficos y acertijos por P Roesch
19. Lasse Rempe , Dierk Schleicher: Loci de bifurcación de mapas exponenciales y polinomios cuadráticos: conectividad local, trivialidad de fibras y densidad de hiperbolicidad ^{[ enlace muerto permanente ]}
20. Planos de parámetros alternativos por David E. Joyce
21. mapa exponencial por Robert Munafo
22. Árboles de componentes visibles en el conjunto de Mandelbrot de Virpi K auko, FUNDAM EN TA MATHEMATICAE 164 (2000)
23. Conjunto de Mandelbrot por el grupo de Saratov de dinámica teórica no lineal
24. Moehlis, Kresimir Josic, Eric T. Shea-Brown (2006) Órbita periódica. Scholarpedia ,
25. La derivada de Schwarzian y la órbita crítica por Wes McKinney 18.091 20 de abril de 2005

Enlaces externos

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• Recursos de Wikiversity

• Monica Nevins y Thomas D. Rogers, " Mapas cuadráticos como sistemas dinámicos en los números p-ádicos "
• Wolf Jung: Homeomorfismos en los bordes del conjunto de Mandelbrot. Doctor. tesis de 2002

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