En teoría de la probabilidad y estadísticas , un vector aleatorio complejo es típicamente una tupla de complejos -valued variables aleatorias , y en general es una variable aleatoria tomando valores en un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos. Sison variables aleatorias de valores complejos, entonces la n- tuplaes un vector aleatorio complejo. Las variables aleatorias complejas siempre se pueden considerar como pares de vectores aleatorios reales: sus partes real e imaginaria.
Algunos conceptos de vectores aleatorios reales tienen una generalización sencilla a vectores aleatorios complejos. Por ejemplo, la definición de la media de un vector aleatorio complejo. Otros conceptos son exclusivos de los vectores aleatorios complejos.
La generalización de la función de distribución acumulativa de variables aleatorias reales a complejas no es obvia porque las expresiones de la forma no tiene sentido. Sin embargo, las expresiones de la formatener sentido. Por tanto, la función de distribución acumulativa de un vector aleatorio Se define como
( Ecuación 1 )
dónde .
Expectativa
Como en el caso real, la expectativa (también llamada valor esperado ) de un vector aleatorio complejo se toma por componentes. [1] : pág. 293
( Ecuación 2 )
Matriz de covarianza y matriz de pseudocovarianza
Definiciones
La matriz de covarianza (también llamada segundo momento central )contiene las covarianzas entre todos los pares de componentes. La matriz de covarianza de un vector aleatorio es un matriz cuyaésimo elemento es la covarianza entre el i ésimo y el j ésimo variables aleatorias. [2] : p.372 A diferencia del caso de las variables aleatorias reales, la covarianza entre dos variables aleatorias implica el complejo conjugado de una de las dos. Por tanto, la matriz de covarianza es una matriz hermitiana . [1] : pág. 293
( Ecuación 3 )
La matriz de pseudo-covarianza (también llamada matriz de relación) se define de la siguiente manera. En contraste con la matriz de covarianza definida anteriormente, la transposición hermitiana se reemplaza por transposición en la definición.
Matrices de covarianza de partes reales e imaginarias
Descomponiendo el vector aleatorio en su parte real y parte imaginaria (es decir ), las matrices y puede relacionarse con las matrices de covarianza de y a través de las siguientes expresiones:
y por el contrario
Matriz de covarianza cruzada y matriz de pseudocovarianza cruzada
Definiciones
La matriz de covarianza cruzada entre dos vectores aleatorios complejos Se define como:
( Ecuación 5 )
Y la matriz de pseudo-covarianza cruzada se define como:
( Ecuación 6 )
Falta de correlación
Dos vectores aleatorios complejos y se llaman no correlacionados si
.
Independencia
Dos vectores aleatorios complejos y se llaman independientes si
( Ecuación 7 )
dónde y denotar las funciones de distribución acumulativa de y como se define en la ecuación 1 ydenota su función de distribución acumulativa conjunta. Independencia de y a menudo se denota por . Escrito por componentes, y se llaman independientes si
.
Simetría circular
Definición
Un vector aleatorio complejo se llama circularmente simétrico si para cada determinista la distribución de es igual a la distribución de . [3] : págs. 500–501
Propiedades
La expectativa de un vector aleatorio complejo circularmente simétrico es cero o no está definido. [3] : pág. 500
La matriz de pseudocovarianza de un vector aleatorio complejo circularmente simétrico es cero. [3] : pág. 584
Vectores adecuados aleatorios complejos
Definición
Un vector aleatorio complejo se llama correcto si se cumplen las tres condiciones siguientes: [1] : p. 293
(media cero)
(todos los componentes tienen varianza finita)
Dos vectores aleatorios complejos se denominan conjuntamente adecuados es el vector aleatorio compuesto es apropiado.
Propiedades
Un vector aleatorio complejo es apropiado si, y solo si, para todos los vectores (deterministas) la variable aleatoria compleja es apropiado. [1] : pág. 293
Las transformaciones lineales de vectores aleatorios complejos adecuados son adecuadas, es decir, si es un vector aleatorio adecuado con componentes y es un determinista matriz, luego el vector aleatorio complejo también es apropiado. [1] : pág. 295
Todo vector aleatorio complejo circularmente simétrico con varianza finita de todos sus componentes es apropiado. [1] : pág. 295
Hay vectores aleatorios complejos adecuados que no son circularmente simétricos. [1] : pág. 504
Un vector aleatorio real es apropiado si y solo si es constante.
Dos vectores aleatorios complejos conjuntamente apropiados no están correlacionados si y solo si su matriz de covariabilidad es cero, es decir, si .
↑ a b c d e f g h i j Lapidoth, Amos (2009). Una base en la comunicación digital . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19395-5.
^Gubner, John A. (2006). Probabilidad y procesos aleatorios para ingenieros eléctricos e informáticos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86470-1.
^ a b cTse, David (2005). Fundamentos de la comunicación inalámbrica . Prensa de la Universidad de Cambridge.