complejización

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En matemáticas , la complejización de un espacio vectorial V sobre el campo de números reales (un "espacio vectorial real") produce un espacio vectorial V ^C sobre el campo de números complejos , obtenido al extender formalmente la escala de vectores por números reales para incluir su escala ("multiplicación") por números complejos. Cualquier base para V (un espacio sobre los números reales) también puede servir como base para V ^C sobre los números complejos.

Sea un espacio vectorial real. los${\ estilo de visualización V}$la complejización deVse define tomando elproducto tensorialdecon los números complejos (considerado como un espacio vectorial bidimensional sobre los reales):${\ estilo de visualización V}$

El subíndice, , en el producto tensorial indica que el producto tensorial se toma sobre los números reales (dado que es un espacio vectorial real, esta es la única opción sensata de todos modos, por lo que el subíndice se puede omitir con seguridad). Tal como está, es sólo un espacio vectorial real. Sin embargo, podemos convertirlo en un espacio vectorial complejo definiendo la multiplicación compleja de la siguiente manera:${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$${\ estilo de visualización V}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle V^{\mathbb {C} }}$

De manera más general, la complejización es un ejemplo de extensión de escalares , aquí extendiendo escalares de los números reales a los números complejos, que se puede hacer para cualquier extensión de campo o, de hecho, para cualquier morfismo de anillos.

Formalmente, la complejización es un funtor Vect _R → Vect _C , de la categoría de espacios vectoriales reales a la categoría de espacios vectoriales complejos. Este es el funtor adjunto , específicamente el adjunto izquierdo , al funtor olvidadizo Vect _C → Vect _R olvidando la estructura compleja.

Este olvido de la estructura compleja de un espacio vectorial complejo se llama${\ estilo de visualización V}$descomplejificación (o a veces "realización "). La descomplejificación de un espacio vectorial complejocon baseelimina la posibilidad de una multiplicación compleja de escalares, lo que produce un espacio vectorial realdel doble de la dimensión con una base^[1]${\ estilo de visualización V}$${\displaystyle e_{\mu}}$${\displaystyle W_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle \{e_{\mu },ie_{\mu }\}.}$

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