En matemáticas , en el área de la teoría de categorías , un funtor olvidadizo (también conocido como funtor de stripping ) 'olvida' o descarta parte o todas las estructuras o propiedades de la entrada 'antes' del mapeo a la salida. Para una estructura algebraica de una firma dada , esto puede expresarse reduciendo la firma: la nueva firma es una forma editada de la anterior. Si la firma se deja como una lista vacía, el functor es simplemente tomar el conjunto subyacente de una estructura. Debido a que muchas estructuras en matemáticas consisten en un conjunto con una estructura agregada adicional, el caso más común es un functor olvidadizo que se asigna al conjunto subyacente.
Descripción general
Como ejemplo, hay varios functores olvidadizos de la categoría de anillos conmutativos . A ( unital ) anillo , que se describe en el idioma del álgebra universal , es una tupla ordenada ( R , +, ×, una , 0, 1) que satisface ciertos axiomas, donde "+" y "×" son funciones binarias en el conjunto R , a es una operación unaria correspondiente al inverso aditivo, y 0 y 1 son operaciones nulas que dan las identidades de las dos operaciones binarias. Eliminar el 1 da un functor olvidadizo a la categoría de anillos sin unidad ; simplemente "olvida" la unidad. Eliminación de "×" y 1 rendimientos de un funtor a la categoría de grupos abelianos , que asigna a cada anillo R el grupo abeliano aditivo subyacente de R . A cada morfismo de anillos se le asigna la misma función considerada simplemente como un morfismo de adición entre los grupos subyacentes. Eliminación de todas las operaciones da el funtor subyacente al conjunto R .
Es beneficioso distinguir entre los functores olvidadizos que "olvidan la estructura" y los que "olvidan las propiedades". Por ejemplo, en el ejemplo anterior de anillos conmutativos, además de aquellos functores que eliminan algunas de las operaciones, hay functores que olvidan algunos de los axiomas. Hay un funtor de la categoría CRing a Ring que olvida el axioma de conmutatividad, pero conserva todas las operaciones. Ocasionalmente, el objeto puede incluir conjuntos adicionales no definidos estrictamente en términos del conjunto subyacente (en este caso, qué parte considerar el conjunto subyacente es una cuestión de gustos, aunque esto rara vez es ambiguo en la práctica). Para estos objetos, hay functores olvidadizos que olvidan los conjuntos extra que son más generales.
Los objetos más comunes estudiados en matemáticas se construyen como conjuntos subyacentes junto con conjuntos adicionales de estructura en esos conjuntos (operaciones en el conjunto subyacente, subconjuntos privilegiados del conjunto subyacente, etc.) que pueden satisfacer algunos axiomas. Para estos objetos, un funtor olvidadizo comúnmente considerado es el siguiente. Dejarser cualquier categoría basada en conjuntos , por ejemplo, grupos —conjuntos de elementos— o espacios topológicos —conjuntos de 'puntos'. Como siempre, escribepara los objetos de y escribe por los morfismos del mismo. Considere la regla:
- Para todos en el conjunto subyacente de
- Para todos en el morfismo, , como mapa de conjuntos.
El functor es entonces el functor olvidadizo de a Set , la categoría de sets .
Los functors olvidadizos son casi siempre fieles . Las categorías concretas tienen functores olvidadizos para la categoría de conjuntos; de hecho, pueden definirse como aquellas categorías que admiten un functor fiel a esa categoría.
Los functores olvidadizos que solo olvidan los axiomas son siempre plenamente fieles , ya que todo morfismo que respeta la estructura entre objetos que satisfacen los axiomas automáticamente también respeta los axiomas. Los functores olvidadizos que olvidan las estructuras no necesitan estar llenos; algunos morfismos no respetan la estructura. Sin embargo, estos functores siguen siendo fieles porque los distintos morfismos que respetan la estructura siguen siendo distintos cuando se olvida la estructura. Los functores que olvidan los conjuntos adicionales no necesitan ser fieles, ya que los distintos morfismos que respetan la estructura de esos conjuntos adicionales pueden ser indistinguibles en el conjunto subyacente.
En el lenguaje de la lógica formal, un funtor del primer tipo elimina los axiomas, un funtor del segundo tipo elimina los predicados y un funtor del tercer tipo elimina los tipos [ aclaración necesaria ] . Un ejemplo del primer tipo es el functor olvidadizo Ab → Grp . Uno del segundo tipo es el functor olvidadizo Ab → Set . Un funtor del tercer tipo es el funtor Mod → Ab , donde Mod es la categoría fibrada de todos los módulos sobre anillos arbitrarios. Para ver esto, simplemente elija un homomorfismo de anillo entre los anillos subyacentes que no cambie la acción del anillo. Bajo el functor olvidadizo, este morfismo cede la identidad. Tenga en cuenta que un objeto en Mod es una tupla, que incluye un anillo y un grupo abeliano, por lo que olvidar es cuestión de gustos.
Anexos izquierdos de functors olvidadizos
Los functors olvidadizos tienden a tener adjuntos izquierdos , que son construcciones " libres ". Por ejemplo:
- módulo gratuito : el functor olvidadizo de (la categoría de - módulos ) para se ha ido adjunto , con , el libre -módulo con base .
- grupo libre
- celosía libre
- álgebra tensorial
- categoría libre , adjunta al functor olvidadizo de categorías a carcaj
- álgebra envolvente universal
Para obtener una lista más extensa, consulte (Mac Lane 1997).
Como este es un ejemplo fundamental de adjuntos, lo explicamos: adjunto significa que dado un conjunto X y un objeto (digamos, un módulo R ) M , mapas de conjuntos corresponden a mapas de módulos : cada mapa de conjuntos produce un mapa de módulos, y cada mapa de módulos proviene de un mapa de conjuntos.
En el caso de los espacios vectoriales, esto se resume como: "Un mapa entre espacios vectoriales está determinado por el lugar al que envía una base, y una base se puede asignar a cualquier cosa".
Simbólicamente:
La unidad del complemento de libre olvido es la "inclusión de una base":.
Fld , la categoría de campos, proporciona un ejemplo de un functor olvidadizo sin adjunto. No existe ningún campo que satisfaga una propiedad universal libre para un conjunto dado.
Ver también
Referencias
- Mac Lane, Saunders . Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas 5, Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, Nueva York, 1997. ISBN 0-387-98403-8
- Funtor de olvido en nLab