En álgebra, dado un homomorfismo de anillo , hay tres formas de cambiar el anillo de coeficientes de un módulo ; es decir, para un módulo R izquierdo M y un módulo S izquierdo N ,
- , el módulo inducido.
- , el módulo coinducido.
- , la restricción de escalares.
Están relacionados como functores adjuntos :
y
Esto está relacionado con el lema de Shapiro .
Operaciones
Restricción de escalares
A lo largo de esta sección, deje y ser dos anillos (pueden o no ser conmutativos , o contener una identidad ), y dejarser un homomorfismo. La restricción de escalares cambia los módulos S en módulos R. En geometría algebraica , el término "restricción de escalares" se usa a menudo como sinónimo de restricción de Weil .
Definición
Suponer que es un módulo sobre . Entonces puede considerarse como un módulo sobre donde la acción de se da a través de
dónde denota la acción definida por el -estructura del módulo en . [1]
Interpretación como functor
La restricción de escalares puede verse como un funtor de-módulos para -módulos. Un-homomorfismo se convierte automáticamente en un -homomorfismo entre las restricciones de y . De hecho, si y , luego
- .
Como functor, la restricción de escalares es el adjunto derecho de la extensión del functor de escalares.
Si es el anillo de números enteros, entonces este es solo el functor olvidadizo de módulos a grupos abelianos.
Extensión de escalares
La extensión de los escalares cambia los módulos R en módulos S.
Definición
Dejar ser un homomorfismo entre dos anillos, y dejar ser un modulo terminado . Considere el producto tensorial , dónde se considera una izquierda -módulo vía . Desde es también un módulo derecho sobre sí mismo, y las dos acciones conmutan, es decir por , (en un lenguaje más formal, es un - bimódulo ), hereda una acción correcta de . Es dado por por , . Se dice que este módulo se obtiene dea través de la extensión de los escalares .
De manera informal, la extensión de los escalares es "el producto tensorial de un anillo y un módulo"; más formalmente, es un caso especial de un producto tensorial de un bimódulo y un módulo: el producto tensorial de un módulo R con unbimodule es un módulo S.
Ejemplos de
Uno de los ejemplos más simples es la complexificación , que es la extensión de los escalares de los números reales a los números complejos . De manera más general, dada cualquier extensión de campo K < L, se pueden extender escalares de K a L.En el lenguaje de los campos, un módulo sobre un campo se llama espacio vectorial y, por lo tanto, la extensión de escalares convierte un espacio vectorial sobre K en un espacio vectorial. espacio vectorial sobre L. Esto también se puede hacer para álgebras de división , como se hace en la cuaternionificación (extensión de los reales a los cuaterniones ).
De manera más general, dado un homomorfismo de un campo o anillo conmutativo R a un anillo S, el anillo S se puede considerar como un álgebra asociativa sobre R y , por lo tanto, cuando se extienden escalares en un módulo R , se puede pensar en el módulo resultante de alternativamente como un módulo S , o como un módulo R con una representación de álgebra de S (como un R -algebra). Por ejemplo, el resultado de complejizar un espacio vectorial real ( R = R , S = C ) se puede interpretar como un espacio vectorial complejo ( módulo S ) o como un espacio vectorial real con una estructura compleja lineal (representación en álgebra de S como un módulo R ).
Aplicaciones
Esta generalización es útil incluso para el estudio de campos; en particular, muchos objetos algebraicos asociados a un campo no son en sí mismos campos, sino que son anillos, como álgebras sobre un campo, como en la teoría de la representación . Así como se pueden extender escalares en espacios vectoriales, también se pueden extender escalares en álgebras grupales y también en módulos sobre álgebras grupales, es decir, representaciones grupales . Es particularmente útil relacionar cómo cambian las representaciones irreductibles bajo la extensión de escalares; por ejemplo, la representación del grupo cíclico de orden 4, dada por la rotación del plano en 90 °, es una representación real bidimensional irreductible , pero en extensión de escalares. a los números complejos, se divide en 2 representaciones complejas de dimensión 1. Esto corresponde al hecho de que el polinomio característico de este operador, es irreducible de grado 2 sobre los reales, pero factoriza en 2 factores de grado 1 sobre los números complejos; no tiene autovalores reales, sino 2 autovalores complejos.
Interpretación como functor
La extensión de escalares se puede interpretar como un funtor de -módulos para -módulos. Envía a , como arriba, y un -homomorfismo hacia -homomorfismo definido por .
Coextensión de escalares (módulo coinducido)
Relación entre la extensión de escalares y la restricción de escalares
Considere una -módulo y un -módulo . Dado un homomorfismo, definir ser la composicion
- ,
donde esta el ultimo mapa . Esto es un -homomorfismo, y por tanto está bien definido y es un homomorfismo (de grupos abelianos ).
En caso de que ambos y tienen una identidad, hay un homomorfismo inverso , que se define de la siguiente manera. Dejar. Luego es la composicion
- ,
donde el primer mapa es el isomorfismo canónico .
Esta construcción muestra que los grupos y son isomorfos. En realidad, este isomorfismo depende solo del homomorfismo, Y también lo es funtorial . En el lenguaje de la teoría de categorías , la extensión del functor escalar se deja adjunta a la restricción del functor escalar.
Ver también
Referencias
- Dummit, David (2004). Álgebra abstracta . Foote, Richard M. (3 ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. págs. 359 –377. ISBN 0471452343. OCLC 248917264 .
- JP May, Notas sobre Tor y Ext
- NICOLAS BOURBAKI . Álgebra I, Capítulo II. ÁLGEBRA LINEAL §5. Extensión del anillo de escalares; §7. Espacios vectoriales. 1974 de Hermann.
Otras lecturas
- ^ Dummit 2004 , p. 359.