Sistema de álgebra informática

El "álgebra simbólica" vuelve a dirigir aquí. Para el álgebra de la lógica, consulte Álgebra simbólica .

Un sistema de álgebra por computadora ( CAS ) o un sistema de álgebra simbólica ( SAS ) es cualquier software matemático con la capacidad de manipular expresiones matemáticas de una manera similar a los cálculos manuales tradicionales de matemáticos y científicos . El desarrollo de los sistemas de álgebra por computadora en la segunda mitad del siglo XX es parte de la disciplina del " álgebra por computadora " o " computación simbólica ", que ha estimulado el trabajo en algoritmos sobre objetos matemáticos como polinomios .

Los sistemas de álgebra computarizada se pueden dividir en dos clases: especializados y de propósito general. Los especializados se dedican a una parte específica de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de grupos o la enseñanza de matemáticas elementales .

Los sistemas informáticos de álgebra de propósito general tienen como objetivo ser útiles para un usuario que trabaja en cualquier campo científico que requiera la manipulación de expresiones matemáticas. Para ser útil, un sistema de álgebra computacional de propósito general debe incluir varias características tales como:

• una interfaz de usuario que permite al usuario ingresar y mostrar fórmulas matemáticas, generalmente desde un teclado, selecciones de menú, mouse o lápiz.
• un lenguaje de programación y un intérprete (el resultado de un cálculo comúnmente tiene una forma impredecible y un tamaño impredecible; por lo tanto, con frecuencia se necesita la intervención del usuario),
• un simplificador , que es un sistema de reescritura para simplificar fórmulas matemáticas,
• un administrador de memoria , incluido un recolector de basura , necesario debido al enorme tamaño de los datos intermedios, que pueden aparecer durante un cálculo,
• una aritmética de precisión arbitraria , necesaria por el enorme tamaño de los enteros que pueden ocurrir,
• una gran biblioteca de algoritmos matemáticos y funciones especiales .

La biblioteca no solo debe satisfacer las necesidades de los usuarios, sino también las necesidades del simplificador. Por ejemplo, el cálculo de los máximos divisores comunes polinomiales se usa sistemáticamente para la simplificación de expresiones que involucran fracciones.

Esta gran cantidad de capacidades informáticas necesarias explica la pequeña cantidad de sistemas de álgebra informática de propósito general. Los principales son Axiom , Maxima , Magma , Maple , Mathematica y SageMath .

Historia

Una calculadora TI-Nspire de Texas Instruments que contiene un sistema de álgebra computarizada

Los sistemas informáticos de álgebra comenzaron a aparecer en la década de 1960 y evolucionaron a partir de dos fuentes bastante diferentes: los requisitos de los físicos teóricos y la investigación sobre inteligencia artificial .

Un excelente ejemplo del primer desarrollo fue el trabajo pionero realizado por el posterior premio Nobel de física Martinus Veltman , quien diseñó un programa de matemáticas simbólicas, especialmente física de alta energía, llamado Schoonschip (en holandés, "barco limpio") en 1963. Otro sistema temprano fue FORMAC .

Utilizando Lisp como base de programación, Carl Engelman creó MATHLAB en 1964 en MITRE dentro de un entorno de investigación de inteligencia artificial. Más tarde, MATHLAB se puso a disposición de los usuarios de los sistemas PDP-6 y PDP-10 que ejecutan TOPS-10 o TENEX en las universidades. Hoy en día todavía se puede utilizar en emulaciones SIMH del PDP-10. MATHLAB ( " matemáticas ematical laboratorio de oratoria ') no debe confundirse con MATLAB (' estera RIX laboratorio de oratoria"), que es un sistema para el cálculo numérico construida 15 años más tarde en la Universidad de Nuevo México .

Los primeros sistemas populares de álgebra informática fueron muMATH , Reduce , Derive (basado en muMATH) y Macsyma ; se mantiene activamente una popular versión copyleft de Macsyma llamada Maxima . Reduce se convirtió en software libre en 2008. ^[1] A partir de hoy, ^{[ ¿cuándo? ]} los sistemas comerciales más populares son Mathematica ^[2] y Maple , que son comúnmente utilizados por investigadores matemáticos, científicos e ingenieros. Las alternativas de libre disponibilidad incluyen SageMath (que puede actuar como interfaz a varios otros CAS gratuitos y no libres).

En 1987, Hewlett-Packard introdujo la primera calculadora portátil CAS con la serie HP-28 y fue posible, por primera vez en una calculadora, ^[3] organizar expresiones algebraicas, diferenciación, integración simbólica limitada, serie de Taylor construcción y un solucionador de ecuaciones algebraicas. En 1999, el CAS Erable desarrollado de forma independiente para la serie HP 48 se convirtió en una parte oficialmente integrada del firmware de la emergente serie HP 49/50 , y un año después también en la serie HP 40 , mientras que HP Prime adoptó el sistema Xcas. en 2013.

La compañía Texas Instruments lanzó en 1995 la calculadora TI-92 con un CAS basado en el software Derive ; la serie TI-Nspire reemplazó a Derive en 2007. La serie TI-89 , lanzada por primera vez en 1998, también contiene un CAS.

Casio lanzó su primera calculadora CAS con la CFX-9970G y la logró con la serie Algebra FX en 1999-2003 y la serie ClassPad actual . ^{[ cita requerida ]}

Más recientemente, se han implementado sistemas de álgebra por computadora utilizando redes neuronales artificiales . ^[4]

Manipulaciones simbólicas

Las manipulaciones simbólicas admitidas generalmente incluyen:

• simplificación a una expresión más pequeña o alguna forma estándar , incluida la simplificación automática con supuestos y la simplificación con restricciones
• sustitución de símbolos o valores numéricos por determinadas expresiones
• cambio de forma de expresiones: expansión de productos y potencias, factorización parcial y total , reescritura como fracciones parciales , satisfacción de restricciones , reescritura de funciones trigonométricas como exponenciales, transformación de expresiones lógicas, etc.
• diferenciación parcial y total
• alguna integración indefinida y definida (ver integración simbólica ), incluyendo integrales multidimensionales
• optimización global simbólica restringida y no restringida
• solución de ecuaciones lineales y algunas no lineales en varios dominios
• solución de algunas ecuaciones diferenciales y en diferencias
• tomando algunos límites
• transformaciones integrales
• operaciones en serie como expansión, suma y productos
• operaciones matriciales que incluyen productos , inversas , etc.
• cálculo estadístico
• Demostración y verificación de teoremas, que es muy útil en el área de las matemáticas experimentales.
• generación de código optimizada

En lo anterior, la palabra algunos indica que la operación no siempre se puede realizar.

Capacidades adicionales

Muchos también incluyen:

• un lenguaje de programación que permite a los usuarios implementar sus propios algoritmos
• operaciones numéricas de precisión arbitraria
• Funcionalidad aritmética de enteros exacta y teoría de números
• Edición de expresiones matemáticas en forma bidimensional.
• trazar gráficos y diagramas paramétricos de funciones en dos y tres dimensiones, y animarlos
• dibujar gráficos y diagramas
• API para vincularlo a un programa externo, como una base de datos, o usarlo en un lenguaje de programación para usar el sistema de álgebra informática
• manipulación de cadenas , como hacer coincidir y buscar
• complementos para su uso en matemáticas aplicadas como física, bioinformática , química computacional y paquetes para la computación física

Algunos incluyen:

• producción y edición de gráficos , como imágenes generadas por computadora y procesamiento de señales como procesamiento de imágenes
• síntesis de sonido

Algunos sistemas de álgebra informática se centran en disciplinas especializadas; estos se desarrollan típicamente en el ámbito académico y son gratuitos. Pueden ser ineficaces para operaciones numéricas en comparación con los sistemas numéricos .

Tipos de expresiones

Las expresiones manipuladas por CAS generalmente incluyen polinomios en múltiples variables; funciones estándar de expresiones ( seno , exponencial , etc.); varias funciones especiales ( Γ , ζ , erf , funciones de Bessel , etc.); funciones arbitrarias de expresiones; mejoramiento; derivadas, integrales, simplificaciones, sumas y productos de expresiones; series truncadas con expresiones como coeficientes, matrices de expresiones, etc. Los dominios numéricos admitidos generalmente incluyen representación de punto flotante de números reales , enteros (de tamaño ilimitado),complejo (representación de punto flotante), representación de intervalo de reales , número racional (representación exacta) y números algebraicos .

Uso en educación

Ha habido muchos defensores de aumentar el uso de sistemas de álgebra computacional en las aulas de las escuelas primarias y secundarias. La razón principal de tal defensa es que los sistemas de álgebra por computadora representan las matemáticas del mundo real más que las matemáticas basadas en papel y lápiz o calculadoras de mano. ^[5] Este impulso para aumentar el uso de la computadora en las aulas de matemáticas ha sido apoyado por algunas juntas de educación. Incluso se ha incluido en el plan de estudios de algunas regiones. ^[6]

Los sistemas informáticos de álgebra se han utilizado ampliamente en la educación superior. ^{[7] [8]} Muchas universidades ofrecen cursos específicos sobre cómo desarrollar su uso o esperan implícitamente que los estudiantes los utilicen para sus cursos. Las empresas que desarrollan sistemas de álgebra informática han presionado para aumentar su prevalencia entre los programas universitarios y universitarios. ^{[9] [10]}

Las calculadoras equipadas con CAS no están permitidas en el ACT , el PLAN y en algunas aulas ^[11], aunque pueden estar permitidas en todas las pruebas permitidas por calculadoras de College Board , incluyendo el SAT , algunas pruebas de asignaturas SAT y el cálculo AP. , Exámenes de Química , Física y Estadística .

Matemáticas utilizadas en sistemas informáticos de álgebra

• Algoritmo de finalización de Knuth-Bendix ^[12]
• Algoritmos de búsqueda de raíces ^[12]
• Integración simbólica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Risch o el algoritmo de Risch-Norman
• Suma hipergeométrica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gosper
• Limite el cálculo mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gruntz
• Factorización polinomial mediante, por ejemplo, sobre campos finitos, ^[13] el algoritmo de Berlekamp o el algoritmo de Cantor-Zassenhaus .
• Máximo común divisor mediante, por ejemplo, el algoritmo euclidiano
• Eliminación gaussiana ^[14]
• Base de Gröbner a través de , por ejemplo, el algoritmo de Buchberger ; generalización del algoritmo euclidiano y eliminación gaussiana
• Padé aproximado
• Lema de Schwartz-Zippel y prueba de identidades polinómicas
• Teorema del resto chino
• Ecuaciones diofánticas
• Eliminación del cuantificador sobre números reales mediante, por ejemplo, el método de Tarski / Descomposición algebraica cilíndrica
• Algoritmo de Landau (radicales anidados)
• Derivadas de funciones elementales y funciones especiales . (p. ej., véanse las derivadas de la función gamma incompleta ).
• Descomposición algebraica cilíndrica

Ver también

• Lista de sistemas de álgebra informática
• Computación científica
• Paquete estadístico
• Demostración automatizada de teoremas
• Lenguaje de modelado algebraico
• Programación de lógica de restricción
• Teorías del módulo de satisfacción

Referencias

1. "REDUCIR el sistema de álgebra informática en SourceForge" . reduce-algebra.sourceforge.net . Consultado el 28 de septiembre de 2015 .
2. Entrevista con Gaston Gonnet, co-creador de Maple Archivado el 29 de diciembre de 2007 en Wayback Machine , SIAM History of Numerical Analysis and Computing, 16 de marzo de 2005.
3. Nelson, Richard. "Primeras calculadoras de Hewlett-Packard" . Hewlett Packard. Archivado desde el original el 3 de julio de 2010.
4. Ornes, Stephen. "Matemáticas simbólicas finalmente cede a las redes neuronales" . Revista Quanta . Consultado el 4 de noviembre de 2020 .
5. "Enseñar a los niños matemáticas reales con computadoras" . Ted.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
6. "Matemáticas - Educación de Manitoba" . Edu.gov.mb.ca . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
7. "Mathematica para profesores, personal y estudiantes: tecnología de la información - Northwestern University" . It.northwestern.edu . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
8. "Mathematica para estudiantes - tecnología de la información de la Universidad de Columbia" . cuit.columbia.edu . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
9. "Mathematica para la educación superior: usos para cursos universitarios y universitarios" . Wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
10. "MathWorks - Academia - MATLAB & Simulink" . Mathworks.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
11. Pruebas CAAP de ACT: uso de calculadoras en la prueba de matemáticas CAAP Archivado el 31 de agosto de 2009 en la Wayback Machine.
12. B. Buchberger; GE Collins; R. Loos (29 de junio de 2013). Álgebra informática: Computación simbólica y algebraica . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7091-3406-1.
13. Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard (25 de abril de 2013). Álgebra informática moderna . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-03903-2.
14. Keith O. Geddes; Stephen R. Czapor; George Labahn (30 de junio de 2007). Algoritmos para álgebra computacional . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-585-33247-5.

Enlaces externos

• Definición y funcionamiento de un sistema informático de álgebra.
• Currículo y evaluación en una época de álgebra Computer Systems - Desde el Centro de Información de Recursos de Educación Centro de Información para la Ciencia, Matemáticas y Educación Ambiental, Columbus, Ohio .
• Richard J. Fateman. "Ensayos de simplificación algebraica". Informe técnico MIT-LCS-TR-095, 1972. (De interés histórico en mostrar la dirección de la investigación en álgebra informática. En el sitio web de MIT LCS: [1] )