El teorema del jurado de Condorcet es un teorema de ciencias políticas sobre la probabilidad relativa de que un grupo dado de individuos llegue a una decisión correcta. El teorema fue expresado por primera vez por el marqués de Condorcet en su trabajo de 1785 Ensayo sobre la aplicación del análisis a la probabilidad de decisiones mayoritarias . [1]
Los supuestos del teorema son que un grupo desea llegar a una decisión por mayoría de votos . Uno de los dos resultados de la votación es correcto y cada votante tiene una probabilidad independiente p de votar por la decisión correcta. El teorema pregunta cuántos votantes deberíamos incluir en el grupo. El resultado depende de si p es mayor o menor que 1/2:
- Si p es mayor que 1/2 (es más probable que cada votante vote correctamente), agregar más votantes aumenta la probabilidad de que la decisión de la mayoría sea correcta. En el límite, la probabilidad de que la mayoría vote correctamente se acerca a 1 a medida que aumenta el número de votantes.
- Por otro lado, si p es menor que 1/2 (es más probable que cada votante vote incorrectamente), entonces agregar más votantes empeora las cosas: el jurado óptimo consiste en un solo votante.
Desde Condorcet, muchos otros investigadores han probado otros teoremas del jurado , relajando algunas o todas las suposiciones de Condorcet.
Pruebas [2]
Prueba 1: cálculo de la probabilidad de que dos votantes adicionales cambien el resultado
Para evitar la necesidad de una regla de desempate, asumimos que n es impar. Básicamente, el mismo argumento funciona incluso para n si los empates se rompen al lanzar una moneda al aire.
Ahora suponga que comenzamos con n votantes y dejamos que m de estos votantes voten correctamente.
Considere lo que sucede cuando sumamos dos votantes más (para mantener el número total impar). La mayoría de votos cambia en solo dos casos:
- m fue un voto demasiado pequeño para obtener la mayoría de los n votos, pero ambos nuevos votantes votaron correctamente.
- m era igual a la mayoría de los n votos, pero ambos nuevos votantes votaron incorrectamente.
El resto del tiempo, o los nuevos votos se cancelan, solo aumentan la brecha o no hacen una diferencia suficiente. Así que solo nos importa lo que sucede cuando un solo voto (entre los primeros n ) separa una mayoría correcta de una incorrecta.
Restringiendo nuestra atención a este caso, podemos imaginar que los primeros n -1 votos se anulan y que el voto decisivo lo emite el n -ésimo votante. En este caso, la probabilidad de obtener una mayoría correcta es simplemente p . Ahora suponga que enviamos a los dos votantes adicionales. La probabilidad de que cambien una mayoría incorrecta a una mayoría correcta es (1- p ) p 2 , mientras que la probabilidad de que cambien una mayoría correcta a una mayoría incorrecta es p (1- p ) (1- p ). La primera de estas probabilidades es mayor que la segunda si y solo si p > 1/2, lo que demuestra el teorema.
Prueba 2: calcular la probabilidad de que la decisión sea correcta
Esta prueba es directa; simplemente suma las probabilidades de las mayorías. Cada término de la suma multiplica el número de combinaciones de una mayoría por la probabilidad de esa mayoría. Cada mayoría se cuenta usando una combinación , n elementos tomados k a la vez, donde n es el tamaño del jurado y k es el tamaño de la mayoría. Las probabilidades van de 0 (= el voto siempre es incorrecto) a 1 (= siempre correcto). Cada persona decide de forma independiente, por lo que las probabilidades de sus decisiones se multiplican. La probabilidad de cada decisión correcta es p . La probabilidad de una decisión incorrecta, q , es la opuesta de p , es decir, 1 - p . La notación de potencia, es decires una abreviatura de x multiplicaciones de p .
Las precisiones del comité o del jurado se pueden estimar fácilmente utilizando este enfoque en hojas de cálculo o programas de computadora.
Como ejemplo, tomemos el caso más simple de n = 3, p = 0.8. Necesitamos demostrar que 3 personas tienen más de 0,8 posibilidades de tener razón. En efecto:
- 0,8 × 0,8 × 0,8 + 0,8 × 0,8 × 0,2 + 0,8 × 0,2 × 0,8 + 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,896.
Asintóticos
La probabilidad de una decisión mayoritaria correcta P ( n , p ), cuando la probabilidad individual p es cercana a 1/2, crece linealmente en términos de p - 1/2. Para n votantes cada uno con probabilidad p de decidir correctamente y para n impares (donde no hay posibles empates):
dónde
y la aproximación asintótica en términos de n es muy precisa. La expansión es solo en poderes impares y. En términos simples, esto dice que cuando la decisión es difícil ( p cercano a 1/2), la ganancia al tener n votantes crece proporcionalmente a.
El teorema en otras disciplinas
El teorema del jurado de Condorcet se ha utilizado recientemente para conceptualizar la integración de la puntuación cuando varios médicos lectores (radiólogos, endoscopistas, etc.) evalúan de forma independiente las imágenes para determinar la actividad de la enfermedad. Esta tarea surge en la lectura central realizada durante los ensayos clínicos y tiene similitudes con la votación. Según los autores, la aplicación del teorema puede traducir los puntajes de los lectores individuales en un puntaje final de una manera que sea matemáticamente sólida (al evitar el promedio de datos ordinales), matemáticamente manejable para un análisis posterior y de una manera que sea consistente con la tarea de puntuación en cuestión (basada en decisiones sobre la presencia o ausencia de características, una tarea de clasificación subjetiva) [3]
El teorema del jurado de Condorcet también se utiliza en el aprendizaje por conjuntos en el campo del aprendizaje automático . Un método de conjunto combina las predicciones de muchos clasificadores individuales por mayoría de votos. Suponiendo que cada uno de los clasificadores individuales predice con un poco más del 50% de precisión y sus predicciones son independientes, entonces el conjunto de sus predicciones será mucho mayor que sus puntuaciones predictivas individuales.
Otras lecturas
Notas
- ^ Marqués de Condorcet (1785). Essai sur l'application de l'analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (PNG) (en francés) . Consultado el 10 de marzo de 2008 .
- ^ Tangian, Andranik (2020). Teoría analítica de la democracia. Vols. 1 y 2 . Cham, Suiza: Springer. págs. 149-162. ISBN 978-3-030-39690-9.
- ^ Gottlieb, Klaus; Hussain, Fez (19 de febrero de 2015). "Votación para evaluación y puntuación de imágenes (VISA): teoría y aplicación de un algoritmo de lector 2 + 1 para mejorar la precisión de los criterios de valoración de imágenes en ensayos clínicos" . Imágenes médicas de BMC . 15 : 6. doi : 10.1186 / s12880-015-0049-0 . ISSN 1471-2342 . PMC 4349725 . PMID 25880066 .