En matemáticas , en geometría diofántica , el conductor de una variedad abeliana definida sobre un campo local o global F es una medida de cuán "mala" es la mala reducción en algún primo. Está conectado a la ramificación en el campo generada por los puntos de torsión .
Definición
Para una variedad abeliana A definido sobre un campo F como anteriormente, con el anillo de los enteros R , considere el modelo Néron de A , que es una 'mejor posible' modelo de A definida sobre R . Este modelo puede representarse como un esquema sobre
- Especificación ( R )
(cf. espectro de un anillo ) para el cual la fibra genérica construida por medio del morfismo
- Especificación ( F ) → Especificación ( R )
devuelve una . Sea A 0 el esquema de subgrupos abiertos del modelo de Néron cuyas fibras son los componentes conectados. Para un P ideal máximo de R con un campo de residuos k , A 0 k es una variedad de grupo sobre k , por lo tanto, una extensión de una variedad abeliana por un grupo lineal. Este grupo lineal es una extensión de un toro por un grupo unipotente . Sea u P la dimensión del grupo unipotente y t P la dimensión del toro. El orden del conductor en P es
dónde es una medida de ramificación salvaje. Cuando F es un campo numérico, el ideal conductor de A viene dado por
Propiedades
- A tiene una buena reducción en P si y solo si (lo que implica ).
- A tiene reducción semiestable si y solo si (luego otra vez ).
- Si A adquiere una reducción semiestable sobre una extensión de Galois de F de grado primo ap , la característica del residuo en P , entonces δ P = 0.
- Si , donde d es la dimensión de A , entonces.
- Si y F es una extensión finita de de grado de ramificación , hay un límite superior expresado en términos de la función , que se define de la siguiente manera:
- Escribir con y establecer . Entonces [1]
- Además, para cada con hay un campo con y una variedad abeliana de dimensión así que eso es una igualdad.
Referencias
- ^ Brumer, Armand; Kramer, Kenneth (1994). "El director de una variedad abeliana". Compositio Math . 92 (2): 227-248.
- S. Lang (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . págs. 70 –71. ISBN 3-540-61223-8.
- J.-P. Serre; J. Tate (1968). "Buena reducción de variedades abelianas". Ana. Matemáticas . The Annals of Mathematics, vol. 88, núm. 3. 88 (3): 492–517. doi : 10.2307 / 1970722 . JSTOR 1970722 .