En geometría algebraica , un punto genérico P de una variedad algebraica X es, en términos generales, un punto en el que todas las propiedades genéricas son verdaderas, siendo una propiedad genérica una propiedad que es verdadera para casi todos los puntos.
En geometría algebraica clásica, un punto genérico de una variedad algebraica afín o proyectiva de dimensión d es un punto tal que el campo generado por sus coordenadas tiene grado de trascendencia d sobre el campo generado por los coeficientes de las ecuaciones de la variedad.
En la teoría de esquemas , el espectro de un dominio integral tiene un punto genérico único, que es el ideal primo mínimo. Como el cierre de este punto para la topología de Zariski es todo el espectro, la definición se ha extendido a la topología general , donde un punto genérico de un espacio topológico X es un punto cuyo cierre es X.
Un punto genérico del espacio topológico X es un punto P cuyo cierre es todo X , es decir, un punto denso en X . [1]
La terminología surge del caso de la topología de Zariski sobre el conjunto de subvariedades de un conjunto algebraico : el conjunto algebraico es irreducible (es decir, no es la unión de dos subconjuntos algebraicos propios) si y solo si el espacio topológico de las subvariedades tiene un punto genérico.
En el enfoque fundacional de André Weil , desarrollado en sus Fundamentos de Geometría Algebraica , los puntos genéricos jugaron un papel importante, pero fueron manejados de manera diferente. Para una variedad algebraica V sobre un campo K , los puntos genéricos de V eran toda una clase de puntos de V que tomaban valores en un dominio universal Ω, un campo algebraicamente cerrado que contenía K pero también un suministro infinito de nuevos indeterminados. Este enfoque funcionó, sin necesidad de tratar directamente con la topología de V ( K-Topología de Zariski, es decir), porque todas las especializaciones podrían discutirse a nivel de campo (como en el enfoque de la teoría de la valoración de la geometría algebraica, popular en la década de 1930).