En matemáticas, el conductor de una curva elíptica sobre el campo de números racionales , o más generalmente un campo local o global , es un ideal integral análogo al conductor Artin de una representación de Galois. Se da como producto de ideales primos , junto con exponentes asociados, que codifican la ramificación en las extensiones de campo generadas por los puntos de orden finito en la ley de grupo de la curva elíptica . Los primos involucrados en el conductor son precisamente los primos de una mala reducción de la curva: este es elCriterio de Néron-Ogg-Shafarevich .
La fórmula de Ogg expresa el conductor en términos del discriminante y el número de componentes de la fibra especial sobre un campo local, que se puede calcular utilizando el algoritmo de Tate .
El conductor de una curva elíptica sobre un campo local fue estudiado implícitamente (pero no nombrado) por Ogg (1967) en la forma de un invariante entero ε + δ que luego resultó ser el exponente del conductor.
El conductor de una curva elíptica sobre los racionales fue introducido y nombrado por Weil (1967) como una constante que aparece en la ecuación funcional de su serie L, de forma análoga a la forma en que el conductor de un campo global aparece en la ecuación funcional de su zeta. función. Mostró que podría escribirse como un producto sobre primos con exponentes dados por orden (Δ) - μ + 1, que según la fórmula de Ogg es igual a ε + δ. Una definición similar funciona para cualquier campo global. Weil también sugirió que el conductor era igual al nivel de una forma modular correspondiente a la curva elíptica.
Deje que E sea una curva elíptica definida sobre un campo local de K y p un ideal primo del anillo de los enteros de K . Consideramos una ecuación mínima para E : una ecuación de Weierstrass generalizada cuyos coeficientes son p -integral y con la valoración del discriminante ν p (Δ) lo más pequeña posible. Si el discriminante es una unidad p, entonces E tiene una buena reducción en py el exponente del conductor es cero.
Podemos escribir el exponente f del conductor como una suma ε + δ de dos términos, correspondientes a la ramificación mansa y salvaje. La parte de ramificación domesticada ε se define en términos del tipo de reducción: ε = 0 para una buena reducción, ε = 1 para una reducción multiplicativa y ε = 2 para una reducción aditiva. El término de ramificación salvaje δ es cero a menos que p divida 2 o 3, y en los últimos casos se define en términos de la ramificación salvaje de las extensiones de K por los puntos de división de E por la fórmula de Serre