En la teoría de curvas elípticas , el algoritmo de Tate toma como entrada un modelo integral de una curva elíptica E sobre, o más generalmente un campo numérico algebraico , y un primo o ideal primo p . Devuelve el exponente f p de p en el conductor de E , el tipo de reducción en p , el índice local
dónde es el grupo de -puntos cuya reducción mod p es un punto no singular . Además, el algoritmo determina si el modelo integral dado es mínimo en p y, en caso contrario, devuelve un modelo integral con coeficientes integrales para los que la valoración en p del discriminante es mínima.
El algoritmo de Tate también da a la estructura de las fibras singulares dadas por el símbolo Kodaira o símbolo Néron, para lo cual, véase superficies elípticas : A su vez esto determina el exponente f p del conductor E .
El algoritmo de Tate se puede simplificar mucho si la característica del campo de clase de residuo no es 2 o 3; en este caso el tipo y c y f pueden ser leídos fuera de las valoraciones de j y Δ (definido a continuación).
El algoritmo de Tate fue introducido por John Tate ( 1975 ) como una mejora de la descripción del modelo de Néron de una curva elíptica por Néron ( 1964 ).
Notación
Suponga que todos los coeficientes de la ecuación de la curva se encuentran en un anillo de valoración discreto completo R con un campo de residuos perfecto y un ideal máximo generado por un primo π. La curva elíptica viene dada por la ecuación
Definir:
El algoritmo
- Paso 1: Si π no divide Δ, entonces el tipo es I 0 , f = 0, c = 1.
- Paso 2. De lo contrario, cambie las coordenadas para que π divida a 3 , a 4 , a 6 . Si π no divide b 2, entonces el tipo es I ν , con ν = v (Δ) y f = 1.
- Paso 3. De lo contrario, si π 2 no divide a 6, entonces el tipo es II, c = 1 y f = v (Δ);
- Paso 4. De lo contrario, si π 3 no divide b 8, entonces el tipo es III, c = 2 y f = v (Δ) −1;
- Paso 5. De lo contrario, si π 3 no divide b 6, entonces el tipo es IV, c = 3 o 1, y f = v (Δ) −2.
- Paso 6. De lo contrario, cambie las coordenadas para que π divida un 1 y un 2 , π 2 divida un 3 y un 4 , y π 3 divida un 6 . Sea P el polinomio
- Si la congruencia P (T) ≡0 tiene 3 raíces distintas, entonces el tipo es I 0 * , f = v (Δ) −4 y c es 1+ (número de raíces de P en k ).
- Paso 7. Si P tiene una raíz simple y una doble, entonces el tipo es I ν * para algunos ν> 0, f = v (Δ) −4 − ν, c = 2 o 4: hay un "subalgoritmo "por ocuparme de este caso.
- Paso 8. Si P tiene una raíz triple, cambie las variables para que la raíz triple sea 0, de modo que π 2 divida a 2 y π 3 divida a 4 y π 4 divida a 6 . Si
- tiene raíces distintas, el tipo es IV * , f = v (Δ) −6 y c es 3 si las raíces están en k , 1 en caso contrario.
- Paso 9. La ecuación anterior tiene una raíz doble. Cambie las variables para que la raíz doble sea 0. Entonces π 3 divide a 3 y π 5 divide a 6 . Si π 4 no divide a 4, entonces el tipo es III * y f = v (Δ) −7 y c = 2.
- Paso 10. De lo contrario, si π 6 no divide a 6, entonces el tipo es II * y f = v (Δ) −8 y c = 1.
- Paso 11. De lo contrario, la ecuación no es mínima. Divide cada una n por π n y volver al paso 1.
Implementaciones
El algoritmo está implementado para los campos de números algebraicos en el PARI / GP sistema de álgebra computacional, disponible a través de la función elllocalred.
Referencias
- Cremona, John (1997), Algoritmos para curvas elípticas modulares (2a ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-59820-6, Zbl 0.872,14041 , recuperada 2007-12-20
- Laska, Michael (1982), "Un algoritmo para encontrar una ecuación de Weierstrass mínima para una curva elíptica", Matemáticas de computación , 38 (157): 257-260, doi : 10.2307 / 2007483 , JSTOR 2007483 , Zbl 0493.14016
- Néron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abèliennes sur les corps locaux et globaux" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (en francés), 21 : 5–128, doi : 10.1007 / BF02684271 , MR 0179172 , Zbl 0132.41403
- Silverman, Joseph H. (1994), Temas Avanzados en la aritmética de curvas elípticas , Licenciado en Matemáticas Textos , 151 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-94328-5, Zbl 0911.14015
- Tate, John (1975), "Algoritmo para determinar el tipo de una fibra singular en un lápiz elíptico", en Birch, BJ ; Kuyk, W. (eds.), Funciones modulares de una variable IV , Lecture Notes in Mathematics, 476 , Berlín / Heidelberg: Springer, págs. 33-52, doi : 10.1007 / BFb0097582 , ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN 1617-9692 , MR 0393039 , Zbl 1214.14020