mapa conforme
En matemáticas , un mapa conforme es una función que conserva localmente los ángulos , pero no necesariamente las longitudes.
Más formalmente, let y be subconjuntos abiertos de . Una función se llama conforme (o que conserva el ángulo ) en un punto si conserva los ángulos entre las curvas dirigidas a través de , además de conservar la orientación. Los mapas conformes conservan tanto los ángulos como las formas de figuras infinitesimalmente pequeñas, pero no necesariamente su tamaño o curvatura .
La propiedad conforme puede describirse en términos de la matriz derivada jacobiana de una transformación de coordenadas . La transformación es conforme siempre que el jacobiano en cada punto sea un escalar positivo multiplicado por una matriz de rotación ( ortogonal con determinante uno). Algunos autores definen la conformidad para incluir mapeos de inversión de orientación cuyos jacobianos se pueden escribir como cualquier escalar multiplicado por cualquier matriz ortogonal. [1]
Para mapeos en dos dimensiones, los mapeos conformes (que preservan la orientación) son precisamente las funciones analíticas complejas localmente invertibles . En tres dimensiones y más, el teorema de Liouville limita claramente las aplicaciones conformes a unos pocos tipos.
La noción de conformidad se generaliza de forma natural a mapas entre variedades riemannianas o semirriemannianas .
Si es un subconjunto abierto del plano complejo , entonces una función es conforme si y solo si es holomorfa y su derivada es en todas partes distinta de cero en . Si es antiholomorfa ( conjugada a una función holomorfa), conserva los ángulos pero invierte su orientación.
