En matemáticas , en el marco de la base de un universo para la teoría de categorías , [1] [2] el término "conglomerado" se aplica a conjuntos arbitrarios como una contraposición a los conjuntos distinguidos que son elementos de un universo de Grothendieck . [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Definición
Las teorías de conjuntos axiomáticos más populares, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK), admiten extensiones no conservadoras que surgen después de agregar un axioma suplementario de existencia de un universo de Grothendieck . Un ejemplo de tal extensión es la teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck , donde se postula una jerarquía infinita de universos de Grothendieck.
El concepto de conglomerado fue creado para tratar con "colecciones" de clases , lo cual es deseable en la teoría de categorías para que cada clase pueda ser considerada como un elemento de una "colección más general", un conglomerado. Técnicamente, esto está organizado por cambios en la terminología: cuando un universo de Grothendieck se agrega a la teoría de conjuntos axiomáticos elegida ( ZFC / NBG / MK ) se considera conveniente [9] [10]
- aplicar el término "conjunto" solo a elementos de ,
- para aplicar el término "clase" solo a subconjuntos de ,
- para aplicar el término "conglomerado" a todos los conjuntos (no elementos o subconjuntos necesarios de ).
Como resultado, en esta terminología, cada conjunto es una clase y cada clase es un conglomerado.
Corolarios
Formalmente, esta construcción describe un modelo de la teoría de conjuntos axiomáticos inicial ( ZFC / NBG / MK ) en la extensión de esta teoría ("ZFC / NBG / MK + universo de Grothendieck ") concomo el universo. [1] : 195 [2] : 23
Si la teoría de conjuntos axiomáticos inicial admite la idea de una clase adecuada (es decir, un objeto que no puede ser un elemento de ningún otro objeto, como la clasede todos los conjuntos en NBG y en MK), estos objetos (clases adecuadas) se descartan de la consideración en la nueva teoría ("NBG / MK + universo de Grothendieck"). Sin embargo, (sin contar los posibles problemas causados por el axioma suplementario de existencia de) esto en cierto sentido no conduce a una pérdida de información sobre los objetos de la vieja teoría (NBG o MK) ya que su representación como modelo en la nueva teoría ("NBG / MK + Universo Grothendieck") significa que lo que puede ser probado en NBG / MK sobre sus objetos habituales llamados clases (incluidas las clases adecuadas) también se puede probar en "NBG / MK + Universo Grothendieck" sobre sus clases (es decir, sobre subconjuntos de , incluidos los subconjuntos que no son elementos de , que son análogos de clases propias de NBG / MK). Al mismo tiempo, la nueva teoría no es equivalente a la inicial, ya que algunas proposiciones adicionales sobre clases pueden probarse en "NBG / MK + Universo Grothendieck" pero no en NBG / MK.
Terminología
El cambio de terminología a veces se denomina "convención de conglomerado". [7] : 6 El primer paso, realizado por Mac Lane, [1] : 195 [2] : 23 es aplicar el término "clase" solo a subconjuntos deMac Lane no redefine los términos existentes de la teoría de conjuntos; más bien, trabaja en una teoría de conjuntos sin clases (ZFC, no NBG / MK), llama a los miembros de"pequeños conjuntos", y establece que los pequeños conjuntos y las clases satisfacen los axiomas de NBG. No necesita "conglomerados", ya que los conjuntos no necesitan ser pequeños.
El término "conglomerado" se esconde en las reseñas de los años setenta y ochenta de Mathematical Reviews [11] sin definición, explicación o referencia, ya veces en artículos. [12]
Mientras esté vigente la convención del conglomerado, debe utilizarse exclusivamente para evitar ambigüedades; es decir, los conglomerados no deben llamarse "conjuntos" en la forma habitual de ZFC. [7] : 6
Referencias
- ↑ a b c Mac Lane, Saunders (1969). "Un universo como base para la teoría de categorías". Informes del Seminario de Categoría Medio Oeste III. Lecture Notes in Mathematics, vol 106 . Apuntes de clase en matemáticas. 106 . Springer, Berlín, Heidelberg . págs. 192-200. doi : 10.1007 / BFb0059147 . ISBN 978-3-540-04625-7.
- ^ a b c Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (Segunda ed.). Springer, Nueva York, NY . ISBN 978-0-387-90036-0.
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- ^ Revisado: 89e: 18002 , 96g: 18002