En matemáticas , el problema del retículo de congruencia pregunta si todo retículo distributivo algebraico es isomórfico al retículo de congruencia de algún otro retículo. El problema fue planteado por Robert P. Dilworth , y durante muchos años fue uno de los problemas abiertos más famosos y antiguos de la teoría de la celosía ; tuvo un profundo impacto en el desarrollo de la propia teoría de la celosía. La conjetura de que cada retícula distributiva es una retícula de congruencia es cierta para todas las retículas distributivas con un máximo de ℵ 1 elementos compactos , pero F. Wehrung proporcionó un contraejemplo para las retículas distributivas con ℵ 2elementos compactos utilizando una construcción basada en el teorema de conjuntos libres de Kuratowski .
Preliminares
Denotamos por Con A el retículo de congruencias de un álgebra A , es decir, el retículo de todas las congruencias de A bajo inclusión.
La siguiente es una trivialidad algebraica universal . Dice que para una congruencia, ser generado finitamente es una propiedad teórica reticular.
Lema. Una congruencia de un álgebra A es de tipo finito si y sólo si es un elemento compacto de Con A .
Como cada congruencia de un álgebra es la unión de las congruencias generadas finitamente debajo de él (por ejemplo, cada submódulo de un módulo es la unión de todos sus submódulos generados finitamente), obtenemos el siguiente resultado, publicado por primera vez por Birkhoff y Frink en 1948.
Teorema (Birkhoff y Frink 1948). La retícula de congruencia Con A de cualquier álgebra A es una retícula algebraica .
Si bien las congruencias de celosías pierden algo en comparación con grupos , módulos , anillos (no pueden identificarse con subconjuntos del universo), también tienen una propiedad única entre todas las demás estructuras encontradas hasta ahora.
Teorema (Funayama y Nakayama 1942). La retícula de congruencia de cualquier retícula es distributiva .
Esto dice que α ∧ (β ∨ γ) = (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ), para cualquier congruencia α, β y γ de una red dada. El análogo de este resultado falla, por ejemplo, para módulos, ya que, por regla general, para los submódulos A , B , C de un módulo determinado .
Poco después de este resultado, Dilworth demostró el siguiente resultado. No publicó el resultado, pero aparece como un ejercicio que se le atribuye en Birkhoff 1948. La primera prueba publicada está en Grätzer y Schmidt 1962.
Teorema (Dilworth ≈1940, Grätzer y Schmidt 1962). Todo retículo distributivo finito es isomorfo al retículo de congruencia de algún retículo finito.
Es importante observar que la celosía solución encontrada en la demostración de Grätzer y Schmidt se complementa en sección , es decir, tiene un elemento mínimo (cierto para cualquier celosía finita) y para todos los elementos a ≤ b existe un elemento x con a ∨ x = b y un ∧ x = 0 . También es en ese documento donde CLP se menciona por primera vez en forma publicada, aunque parece que los primeros intentos de CLP fueron realizados por el propio Dilworth. Se ha prestado una enorme atención a las celosías de congruencia de celosías finitas, por lo que una referencia es la monografía de Grätzer de 2005.
El problema del retículo de congruencia (CLP): ¿Es todo retículo algebraico distributivo isomórfico al retículo de congruencia de algún retículo?
El problema CLP ha sido uno de los problemas abiertos más intrigantes y más antiguos de la teoría de celosía. Algunos resultados relacionados del álgebra universal son los siguientes.
Teorema (Grätzer y Schmidt 1963). Cada retículo algebraico es isomorfo al retículo de congruencia de algún álgebra.
El retículo Sub V de todos los subespacios de un espacio vectorial V es ciertamente un retículo algebraico. Como muestra el siguiente resultado, estas celosías algebraicas son difíciles de representar.
Teorema (Freese, Lampe y Taylor 1979). Deje que V sea un espacio vectorial de dimensión infinita a través de una incontable campo F . Luego de Con A isomorfo a Sub V implica que A tiene al menos la tarjeta de F operaciones, para cualquier álgebra A .
Como V es de dimensión infinita, el elemento ( unidad ) más grande de Sub V no es compacto. Por inofensivo que parezca, la suposición de unidad compacta es esencial en la declaración del resultado anterior, como lo demuestra el siguiente resultado.
Teorema (Lampe 1982). Todo retículo algebraico con unidad compacta es isomorfo al retículo de congruencia de algún grupoide .
Formulación semirredurativa de CLP
La retícula de congruencia Con A de un álgebra A es una retícula algebraica . El (∨, 0) - semilattice de elementos compactos de Con A se denota por Con c A , y que a veces se llama la congruencia semilattice de A . Luego Con A es isomorfo a la celosía ideales de Con c A . Utilizando la equivalencia clásica entre la categoría de todas las (∨, 0) -semilattices y la categoría de todas las celosías algebraicas (con definiciones adecuadas de morfismos ), como se describe aquí , obtenemos la siguiente formulación semirreticular-teórica de CLP.
Formulación semirreticular-teórica de CLP: ¿Es toda semirreticulado distributivo (∨, 0) isomorfo a la semirreticulado de congruencia de algún retículo?
Decir que un distributiva (∨, 0) -semilattice es representable , si es isomorfo a Con c L , por alguna celosía L . Entonces CLP pregunta si cada semirretículo distributivo (∨, 0) es representable.
Muchas investigaciones en torno a este problema involucran diagramas de semirretices o de álgebras. Un resultado de folclore muy útil sobre estos es el siguiente.
Teorema. El funtor Con c , definido en todas las álgebras de una firma dada , para todas (ila, 0) -semilattices, conserva los límites directos .
Enfoque de Schmidt a través de homomorfismos de unión distributivos
Se dice que un (∨, 0) satisface -semilattice de Schmidt Condición , si es isomorfo al cociente de un generalizado de Boole semirretículo B bajo alguna distributiva join-congruencia de B . Uno de los resultados más profundos sobre la representabilidad de (∨, 0) -semilattices es el siguiente.
Teorema (Schmidt 1968). Cualquier (Any, 0) -semrettic que satisfaga la condición de Schmidt es representable.
Esto planteó el siguiente problema, expresado en el mismo documento.
Problema 1 (Schmidt 1968). ¿Algún (∨, 0) -semilattice satisface la condición de Schmidt?
Las respuestas positivas parciales son las siguientes.
Teorema (Schmidt 1981). Todo retículo distributivo con cero satisface la condición de Schmidt; por tanto, es representable.
Este resultado se ha mejorado aún más de la siguiente manera, a través de una prueba técnica muy larga, utilizando modelos forzados y con valores booleanos.
Teorema (Wehrung 2003). Cada límite directo de una secuencia contable de celosías distributivas con cero y (∨, 0) -omorfismos es representable.
Otros resultados importantes de representabilidad están relacionados con la cardinalidad de la semirred. El siguiente resultado fue preparado para su publicación por Dobbertin después de la muerte de Huhn en 1985. Los dos artículos correspondientes se publicaron en 1989.
Teorema (Huhn 1985). Cada semirretículo distributivo (se, 0) de cardinalidad como máximo ℵ 1 satisface la condición de Schmidt. Por tanto, es representable.
Utilizando diferentes métodos, Dobbertin obtuvo el siguiente resultado.
Teorema (Dobbertin 1986). Es representable toda red distributiva (∨, 0) en la que cada ideal principal es, a lo sumo, contable .
Problema 2 (Dobbertin 1983). ¿Se puede medir cada monoide de refinamiento cónico ?
El enfoque de Pudlák; diagramas de elevación de (∨, 0) -semilattices
El enfoque de CLP sugerido por Pudlák en su artículo de 1985 es diferente. Se basa en el siguiente resultado, Hecho 4, p. 100 en el artículo de 1985 de Pudlák, obtenido anteriormente por Ju.L. Ershov como el teorema principal en la Sección 3 de la Introducción de su monografía de 1977.
Teorema (Ershov 1977, Pudlák 1985). Cada semirreticulo distributivo (∨, 0) es la unión dirigida de sus subsemretículos distributivos (∨, 0) finitos.
Esto significa que cada subconjunto finito en un distributiva (∨, 0) -semilattice S está contenido en algunos finito distributiva (∨, 0) -subsemilattice de S . Ahora estamos tratando de representar una distribución dada (∨, 0) -semilattice S como Con c L , por alguna celosía L . Escribiendo S como una unión dirigidade subdivisiones (∨, 0) distributivas finitas, esperamos representar cada S i como la red de congruencia de una red L i con homomorfismos de red f i j : L i → L j , para i ≤ j en I , tal que El diagramade todo S i con todos los mapas de inclusión S i → S j , para i ≤ j en I , es naturalmente equivalente a, decimos que el diagrama ascensores (con respecto al functor Con c ). Si esto se puede hacer, entonces, como hemos visto que el functor Con c conserva los límites directos, el límite directo satisface .
Si bien el problema de si esto se podría hacer, en general, se mantuvo abierta durante unos 20 años, Pudlak podía probarlo para distributivos celosías con cero, extendiendo así uno de los resultados de Schmidt, proporcionando un funtorial solución.
Teorema (Pudlák 1985). Existe un funtor de preservación de límites directos Φ, desde la categoría de todas las celosías distributivas con incrustaciones de celosía cero y 0 hasta la categoría de todas las celosías con incrustaciones de celosía cero y 0, de modo que Con c Φ es naturalmente equivalente a la identidad. Además, Φ ( S ) es un finito atomista celosía , para cualquier distributiva finito (∨, 0) -semilattice S .
Este resultado se mejora aún más, mediante una construcción aún mucho más compleja, a celosías modulares localmente finitas, complementadas en sección por Růžička en 2004 y 2006.
Pudlák preguntó en 1985 si su resultado anterior podría extenderse a toda la categoría de distribuciones (∨, 0) -semilattices con (∨, 0) -embeddings. El problema permaneció abierto hasta que Tůma y Wehrung lo resolvieron recientemente en forma negativa.
Teorema (Tůma y Wehrung 2006). Existe un diagrama D de (∨, 0) -semilattices y (∨, 0,1) -embeddings booleanos finitos, indexados por un conjunto finito parcialmente ordenado, que no puede ser elevado, con respecto al functor Con c , por ningún diagrama de celosías y homomorfismos de celosía.
En particular, esto implica inmediatamente que no tiene CLP funtorial solución. Además, de los resultados profundos de 1998 del álgebra universal de Kearnes y Szendrei en la llamada teoría del conmutador de variedades, el resultado anterior puede extenderse desde la variedad de todas las redes a cualquier variedad.tal que todo Con A , por, satisfacen una identidad fija no trivial en la firma (∨, ∧) (en resumen, con una identidad de congruencia no trivial ).
También debemos mencionar que muchos intentos de CLP también se basaron en el siguiente resultado, probado por primera vez por Bulman-Fleming y McDowell en 1978 utilizando un resultado categórico de 1974 de Shannon, ver también Goodearl y Wehrung en 2001 para un argumento directo.
Teorema (Bulman-Fleming y McDowell 1978). Cada (∨, 0) -semrettic distributivo es un límite directo de (Bo, 0) -semrettic finitos booleanos y (∨, 0) -homomorfismos.
Debe observarse que mientras que los homomorfismos de transición usados en el Teorema de Ershov-Pudlák son incorporaciones (∨, 0), los homomorfismos de transición usados en el resultado anterior no son necesariamente uno a uno, por ejemplo, cuando se intenta representar el cadena de tres elementos. Prácticamente esto no causa muchos problemas y permite probar los siguientes resultados.
Teorema. Todo distributivo (∨, 0) -semrettic de cardinalidad como máximo ℵ 1 es isomorfo a
(1) Con c L , para un entramado modular L relativamente finito y relativamente complementado (Tůma 1998 y Grätzer, Lakser y Wehrung 2000).
(2) La semirrejilla de ideales bilaterales generados finitamente de algún anillo regular de von Neumann (no necesariamente unital) (Wehrung 2000).
(3) Con c L , para una celosía modular L complementada en sección (Wehrung 2000).
(4) La semirredura de subgrupos normales generados de forma finita de algún grupo finito local (Růžička, Tůma y Wehrung 2006).
(5) La celosía de submódulo de algún módulo derecho sobre un anillo (no conmutativo) (Růžička, Tůma y Wehrung 2006).
Rejillas de congruencia de rejillas y teoría K no estable de anillos regulares de von Neumann
Recordamos que para un (unital, asociativa) del anillo R , denotamos por V (R) al (conmutativa cónica,) monoid de clases de isomorfismo de derecha proyectivos finitamente generados R -modules, vemos aquí para más detalles. Recuerde que si R es regular de von Neumann , entonces V (R) es un monoide de refinamiento . Denotamos por Id c R el (∨, 0) -semilattice de finitamente generados ideales de dos caras de R . Denotamos por L (R) el enrejado de todas las principales ideales derecha de un anillo regular de von Neumann R . Es bien sabido que L (R) es una celosía modular complementada .
Wehrung observó el siguiente resultado, basándose principalmente en trabajos anteriores de Jónsson y Goodearl.
Teorema (Wehrung 1999). Sea R un anillo regular de von Neumann. Entonces las (∨, 0) -semilattices Id c R y Con c L (R) son ambas isomorfas al cociente semirreticular máximo de V (R) .
Bergman demuestra en una conocida nota inédita de 1986 que cualquier semirretículo distributivo (∨, 0) a lo sumo contable es isomorfo a Id c R , para algún anillo localmente matricial R (sobre cualquier campo dado). Este resultado se amplía a semirretículos de cardinalidad como máximo ℵ 1 en 2000 por Wehrung, manteniendo solo la regularidad de R (el anillo construido por la prueba no es localmente matricial). La cuestión de si R podría tomarse localmente como matricial en el caso ℵ 1 permaneció abierta durante un tiempo, hasta que fue refutada por Wehrung en 2004. Trasladando de nuevo al mundo reticular utilizando el teorema anterior y utilizando un análogo reticular-teórico de la V La construcción (R) , llamada dimensión monoide , introducida por Wehrung en 1998, produce el siguiente resultado.
Teorema (Wehrung 2004). Existe una (∨, 0,1) -semretículo distributivo de cardinalidad ℵ 1 que no es isomorfo a Con c L , para cualquier retículo modular L, cada subrretículo generado finitamente tiene una longitud finita.
Problema 3 (Goodearl 1991). ¿Es el cono positivo de cualquier grupo de dimensión con unidad de orden isomorfo a V (R) , para algún anillo regular de von Neumann R ?
Una primera aplicación del teorema de conjuntos libres de Kuratowski
El Problema 1 (Schmidt) antes mencionado, el Problema 2 (Dobbertin) y el Problema 3 (Goodearl) se resolvieron simultáneamente en negativo en 1998.
Teorema (Wehrung 1998). Existe un espacio vectorial de dimensión G sobre los racionales con unidad de orden cuyo cono positivo G + no es isomorfo a V (R) , para cualquier anillo regular de von Neumann R , y no es medible en el sentido de Dobbertin. Además, el cociente máximo de semirred de G + no satisface la condición de Schmidt. Además, G puede tomarse de cualquier cardinalidad dada mayor o igual a ℵ 2 .
De los trabajos mencionados anteriormente de Schmidt, Huhn, Dobbertin, Goodearl y Handelman, el límite ℵ 2 es óptimo en los tres resultados negativos anteriores.
Como sugiere el límite de ℵ 2 , están involucradas combinatorias infinitas. El principio utilizado es el Teorema de conjuntos libres de Kuratowski , publicado por primera vez en 1951. Aquí sólo se utiliza el caso n = 2 .
La parte de semirred del resultado anterior se logra a través de un enunciado teórico de semirrejilla infinita URP ( Propiedad de refinamiento uniforme ). Si queremos refutar el problema de Schmidt, la idea es (1) demostrar que cualquier semirretículo booleano generalizado satisface URP (lo cual es fácil), (2) que URP se conserva bajo una imagen homomórfica bajo un homomorfismo débilmente distributivo (lo cual también es fácil) , y (3) que existe una semirrejilla distributiva (∨, 0) de cardinalidad ℵ 2 que no satisface URP (que es difícil y usa el Teorema de conjuntos libres de Kuratowski).
De forma esquemática, la construcción del teorema anterior se puede describir como sigue. Para un conjunto Ω, consideramos que el espacio vectorial parcialmente ordenado E (Ω) definido por los generadores 1 y un i, x , para i <2 y x en Ω, y las relaciones de un 0, x + a 1, x = 1 , una 0, x ≥ 0 , y a 1, x ≥ 0 , para cualquier x en Ω. Al usar una Skolemización de la teoría de grupos de dimensiones, podemos incrustar E (Ω) de manera funcional en un espacio vectorial de dimensión F (Ω) . El contraejemplo de espacio vectorial del teorema anterior es G = F (Ω) , para cualquier conjunto Ω con al menos ℵ 2 elementos.
Este contraejemplo ha sido modificado posteriormente por Ploščica y Tůma a una construcción directa de semirred. Para una semirrejilla (∨, 0), la semirrejilla más grande R (S) es la semirrejilla (∨, 0) generada libremente por nuevos elementos t (a, b, c) , para a, b, c en S tal que c ≤ a ∨ b , sujeto a las únicas relaciones c = t (a, b, c) ∨ t (b, a, c) y t (a, b, c) ≤ a . Iterando esta construcción da la extensión distributiva libre de S . Ahora, para un conjunto Ω, dejar que L (Ω) ser el (∨, 0) -semilattice definido por los generadores 1 y un i, x , para i <2 y x en Ω, y las relaciones de un 0, x ∨ un 1, x = 1 , para cualquier x en Ω. Finalmente, ponga G (Ω) = D (L (Ω)) .
En la mayoría de los trabajos relacionados, se utiliza la siguiente propiedad de refinamiento uniforme . Es una modificación del introducido por Wehrung en 1998 y 1999.
Definición (Ploščica, Tůma y Wehrung 1998). Deje que e sea un elemento en un (∨, 0) -semilattice S . Decimos que la propiedad de refinamiento uniforme débil WURP se mantiene en e , si para todas las familias y de elementos en S tales que a i ∨ b i = e para todo i en I , existe una familiade elementos de S tales que las relaciones
• c yo, j ≤ a yo , b j ,
• c yo, j ∨ una j ∨ segundo yo = e ,
• c yo, k ≤ c yo, j ∨ c j, k
mantener para todo i, j, k en yo . Decimos que S satisface WURP, si WURP mantiene en cada elemento de la S .
Basándose en el trabajo antes mencionado de Wehrung sobre espacios vectoriales de dimensión, Ploščica y Tůma demostraron que WURP no se mantiene en G (Ω) , para cualquier conjunto Ω de cardinalidad al menos ℵ 2 . Por tanto, G (Ω) no satisface la condición de Schmidt. Todos los resultados de representación negativa mencionados aquí siempre hacen uso de alguna propiedad de refinamiento uniforme , incluida la primera sobre espacios vectoriales de dimensión.
Sin embargo, las semirretículas utilizadas en estos resultados negativos son relativamente complicadas. El siguiente resultado, probado por Ploščica, Tůma y Wehrung en 1998, es más sorprendente, porque muestra ejemplos de semirretículas representables que no satisfacen la Condición de Schmidt. Denotamos por F V (Ω) la celosía libre en Ω en V , para cualquier variedad V de celosías.
Teorema (Ploščica, Tůma y Wehrung 1998). La semirrejilla Con c F V (Ω) no satisface WURP, para cualquier conjunto Ω de cardinalidad al menos ℵ 2 y cualquier variedad no distributiva V de celosías. En consecuencia, Con c F V (Ω) no satisface la condición de Schmidt.
Tůma y Wehrung demostraron en 2001 que Con c F V (Ω) no es isomorfo a Con c L , para cualquier retícula L con congruencias permutables . Al usar un ligero debilitamiento de WURP, este resultado se extiende a álgebras arbitrarias con congruencias permutables por Růžička, Tůma y Wehrung en 2006. Por lo tanto, por ejemplo, si Ω tiene al menos ℵ 2 elementos, entonces Con c F V (Ω) no es isomorfo al entramado de subgrupos normal de ningún grupo, o al entramado de submódulo de cualquier módulo.
Resolviendo CLP: el lema de la erosión
El siguiente teorema reciente resuelve CLP.
Teorema (Wehrung 2007). La semirrejilla G (Ω) no es isomorfa a Con c L para ninguna retícula L , siempre que el conjunto Ω tenga al menos ℵ ω + 1 elementos.
Por lo tanto, el contraejemplo de CLP se conocía desde hace casi diez años, ¡es solo que nadie sabía por qué funcionaba! Todos los resultados anteriores al teorema anterior hicieron uso de alguna forma de permutabilidad de congruencias. La dificultad consistía en encontrar suficiente estructura en las celosías de congruencia de las celosías permutables no congruentes.
Denotaremos por ε la 'función de paridad' de los números naturales, es decir, ε ( n ) = n mod 2, para cualquier número natural n .
Dejamos que L sea un álgebra que posee una estructura de semirretículo ( L , ∨) tal que toda congruencia de L es también una congruencia para la operación ∨. Nosotros ponemos
y denotamos por Con c U L la (∨, 0) -subsemilattice de Con c L generada por todas las congruencias principales Θ ( u , v ) (= menos congruencia de L que identifica u y v ), donde ( u , v ) pertenece a T × T . Ponemos Θ + ( u , v ) = Θ ( u ∨ v , v ), para todo u, v en L .br />
El lema de la erosión (Wehrung 2007). Sea x 0 , x 1 en L y sea, para un entero positivo n , sea un subconjunto finito de L con. Poner
Entonces hay congruencias , para j <2 , tal que
(Observe la débil similitud formal con la resolución de primer orden en lógica matemática. ¿Podría llevarse más lejos esta analogía?)
La prueba del teorema anterior se basa en establecer un teorema de estructura para las redes de congruencia de las semirredes, a saber, el lema de erosión, contra los teoremas de no estructura para las extensiones distributivas libres G (Ω) , el principal se llama lema de evaporación . Si bien estos últimos son técnicamente difíciles, son, en cierto sentido, predecibles. Muy al contrario, la prueba del Lema de Erosión es elemental y fácil, por lo que probablemente sea la extrañeza de su afirmación lo que explica que haya estado oculto durante tanto tiempo.
De hecho, se demuestra más en el teorema anterior: Para cualquier álgebra L con una estructura compatible con congruencia de unión-semirretículo con unidad y para cualquier conjunto Ω con al menos ℵ ω + 1 elementos, no hay homomorfismo débilmente distributivo μ: Con c L → G (Ω) que contiene 1 en su rango . En particular, CLP no era, después de todo, un problema de la teoría de la red, sino más bien de álgebra universal, ¡ incluso más específicamente, la teoría de la semirrejilla ! Estos resultados también pueden traducirse en términos de una propiedad de refinamiento uniforme , indicada por CLR en el artículo de Wehrung que presenta la solución de CLP, que es notablemente más complicada que WURP.
Finalmente, el límite de cardinalidad ℵ ω + 1 ha sido mejorado al límite óptimo ℵ 2 por Růžička.
Teorema (Růžička 2008). La semirrejilla G (Ω) no es isomorfa a Con c L para ninguna retícula L , siempre que el conjunto Ω tenga al menos ℵ 2 elementos.
La demostración de Růžička sigue las líneas principales de la demostración de Wehrung, excepto que introduce una mejora del Teorema del Conjunto Libre de Kuratowski , llamado existencia de árboles libres , que utiliza en el argumento final que involucra el Lema de Erosión.
Un resultado de representación positivo para semirretículos distributivos
La prueba de la solución negativa para CLP muestra que el problema de representar semirretículos distributivos por congruencias compactas de retículas ya aparece para retículos de congruencia de semirredes . La pregunta de si la estructura de un conjunto parcialmente ordenado causaría problemas similares se responde con el siguiente resultado.
Teorema (Wehrung 2008). Para cualquier (∨, 0) -semretículo distributivo S , hay un (∧, 0) -semretículo P y un mapa μ: P × P → S tal que se cumplan las siguientes condiciones:
(1) x ≤ y implica que μ ( x , y ) = 0, para todo x , y en P .
(2) μ ( x , z ) ≤ μ ( x , y ) ∨ μ ( y , z ), para todos los x , y , z en P .
(3) Para todo x ≥ y en P y todo α, β en S tal que μ ( x , y ) ≤ α ∨ β, hay un entero positivo n y elementos x = z 0 ≥ z 1 ≥ ... ≥ z 2 n = y tal que μ ( z i , z i + 1 ) ≤ α (resp., μ ( z i , z i + 1 ) ≤ β) siempre que i <2 n es par (resp., impar).
(4) S se genera, como,-semilattice unen por todos los elementos de la forma μ ( x , 0), para x en P .
Además, si S tiene un elemento más grande, entonces se puede suponer que P es una red con un elemento más grande.
No es difícil verificar que las condiciones (1) - (4) anteriores implican la distributividad de S , por lo que el resultado anterior da una caracterización de la distributividad para (∨, 0) -semretículos.
Referencias
- GM Bergman, anillos regulares de Von Neumann con celosías ideales hechas a medida , nota inédita (26 de octubre de 1986).
- G. Birkhoff , Teoría de celosía , rev. ed. Amer. Matemáticas. Soc. Nueva York, 1948.
- G. Birkhoff y O. Frink, Representaciones de celosías por conjuntos , Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 64 , no. 2 (1948), 299–316.
- S. Bulman-Fleming y K. McDowell, semirreduras planas , Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 72 , no. 2 (1978), 228-232.
- KP Bogart, R. Freese y JPS Kung (editores), The Dilworth Theorems. Artículos seleccionados de Robert P. Dilworth , Birkhäuser Verlag, Basilea - Boston - Berlín, 1990. xxvi + 465 págs. ISBN 0-8176-3434-7
- H. Dobbertin , monoides de refinamiento , monoides de Vaught y álgebras booleanas , matemáticas. Ana. 265 , no. 4 (1983), 473–487.
- H. Dobbertin , medidas de Vaught y sus aplicaciones en la teoría de celosía , J. Pure Appl. Álgebra 43 , no. 1 (1986), 27–51.
- EG Effros, DE Handelman y C.-L. Shen, grupos de dimensiones y sus representaciones afines , Amer. J. Math. 102 , no. 2 (1980), 385–407.
- GA Elliott, Sobre la clasificación de límites inductivos de secuencias de álgebras semimpletas de dimensión finita , J. Algebra 38 , no. 1 (1976), 29–44.
- Ershov, Ju.L., Teoría de las numeraciones (ruso), Monografías de lógica matemática y fundamentos de las matemáticas, Nauka, Moscú, 1977. 416 p.
- R. Freese, WA Lampe y W. Taylor, Rejillas de congruencia de álgebras de tipo de semejanza fija. Yo , Pacific J. Math. 82 (1979), 59–68.
- N. Funayama y T. Nakayama, Sobre la distributividad de una celosía de congruencias de celosía , Proc. Diablillo. Acad. Tokio 18 (1942), 553–554.
- KR Goodearl, anillos regulares de von Neumann. Segunda edicion. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, 1991. xviii + 412 págs. ISBN 0-89464-632-X
- KR Goodearl y D. Handelman, Anillos autoinyectables simples , Comm. Álgebra 3 , no. 9 (1975), 797–834.
- KR Goodearl y D. Handelman, Productos tensoriales de grupos de dimensiones y K 0 de anillos regulares unitarios , Can. J. Math. 38 , no. 3 (1986), 633–658.
- KR Goodearl y F. Wehrung, Representaciones de semirretículos distributivos en retículos ideales de varias estructuras algebraicas , Algebra Universalis 45 , no. 1 (2001), 71–102.
- G. Grätzer, Teoría general de celosía. Segunda edición, nuevos apéndices del autor con BA Davey, R. Freese, B. Ganter, M. Greferath, P. Jipsen, HA Priestley, H. Rose, ET Schmidt, SE Schmidt, F. Wehrung y R. Wille. Birkhäuser Verlag, Basilea, 1998. xx + 663 págs. ISBN 3-7643-5239-6
- G. Grätzer, Las congruencias de un entramado finito: un enfoque de prueba por imagen , Birkhäuser Boston, 2005. xxiii + 281 págs. ISBN 978-0-8176-3224-3 ; 0-8176-3224-7
- G. Grätzer, H. Lakser y F. Wehrung, Fusión de congruencia de celosías , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 66 (2000), 339–358.
- G. Grätzer y ET Schmidt, Sobre celosías de congruencia de celosías , Acta Math. Sci. Hungar. 13 (1962), 179-185.
- G. Grätzer y ET Schmidt, Caracterizaciones de retículas de congruencia de álgebras abstractas , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 24 (1963), 34–59.
- G. Grätzer y ET Schmidt, celosías finitas y congruencias. Una encuesta , Algebra Universalis 52 , no. 2-3 (2004), 241-278.
- PA Grillet, Colimits dirigidos de semigrupos conmutativos libres , J. Pure Appl. Álgebra 9 , no. 1 (1976), 73–87.
- AP Huhn , Sobre la representación de celosías distributivas algebraicas II , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 53 (1989), 3–10.
- AP Huhn, Sobre la representación de celosías distributivas algebraicas III , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 53 (1989), 11-18.
- KA Kearnes y A. Szendrei , La relación entre dos conmutadores , Internat. J. Álgebra Comput. 8 , no. 4 (1998), 497–531.
- C. Kuratowski , Sur une caractérisation des alephs , Fund. Matemáticas. 38 (1951), 14-17.
- WA Lampe, Rejillas de congruencia de álgebras de tipo de semejanza fija. II , Pacific J. Math. 103 (1982), 475–508.
- J. von Neumann , Sobre anillos regulares , Proc. Natl. Acad. Sci. USA 22 (12) (diciembre de 1936), 707–713.
- M. Ploščica y J. Tůma, Refinamientos uniformes en semirretículos distributivos , Contribuciones al álgebra general 10 , Actas de la Conferencia de Klagenfurt, 29 de mayo - 1 de junio de 1997. Verlag Johannes Heyn, Klagenfurt 1998.
- M. Ploščica, J. Tůma y F. Wehrung, Rejillas de congruencia de rejillas libres en variedades no distributivas , Colloq. Matemáticas. 76 , no. 2 (1998), 269–278.
- P. Pudlák, Sobre las celosías de congruencia de las celosías , Algebra Universalis 20 (1985), 96-114.
- P. Růžička, Celosías de ideales bilaterales de álgebras matriciales locales y el problema Γ-invariante , Israel J. Math. 142 (2004), 1–28.
- P. Růžička, Elevaciones de celosías distributivas por álgebras matriciales localmente con respecto al funtor Id c , Algebra Universalis 55 , no. 2-3 (agosto de 2006), 239-257.
- P. Růžička, Árboles libres y el límite óptimo en el teorema de Wehrung , Fondo. Matemáticas. 198 (2008), 217–228.
- P. Růžička, J. Tůma y F. Wehrung, Rejillas de congruencia distributiva de álgebras permutables de congruencia , J. Algebra 311 (2007), 96-116.
- ET Schmidt, Zur Charakterisierung der Kongruenzverbände der Verbände , Mat. Casopis Sloven. Akad. Vied 18 (1968), 3-20.
- ET Schmidt, El retículo ideal de un retículo distributivo con 0 es el retículo de congruencia de un retículo , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 43 (1981), 153-168.
- ET Schmidt, Una encuesta sobre representaciones de celosía de congruencia, Teubner-Texte zur Mathematik [Textos de Teubner en matemáticas], 42 . BSB BG Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1982. 115 p.
- RT Shannon, teorema de Lazard en categorías algebraicas , Algebra Universalis 4 (1974), 226-228.
- A. Tarski , Cardinal Algebras. Con un apéndice: productos cardinales de tipos de isomorfismo, por Bjarni Jónsson y Alfred Tarski. Oxford University Press, Nueva York, NY, 1949. xii + 326 p.
- J. Tůma, Sobre la existencia de representaciones simultáneas , Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) 64 (1998), 357–371.
- J. Tůma y F. Wehrung, Representaciones simultáneas de semirretices por celosías con congruencias permutables , Internat. J. Álgebra Comput. 11 , no. 2 (2001), 217–246.
- J. Tůma y F. Wehrung, Un estudio de resultados recientes sobre retículas de congruencia de retículas , Algebra Universalis 48 , no. 4 (2002), 439–471.
- J. Tůma y F. Wehrung, El levantamiento de la congruencia de diagramas de semirreticulaciones booleanas finitas requiere grandes variedades de congruencia , Internat. J. Álgebra Comput. 16 , no. 3 (2006), 541–550.
- F. Wehrung, Propiedades de no mensurabilidad de espacios vectoriales de interpolación , Israel J. Math. 103 (1998), 177–206.
- F. Wehrung, La dimensión monoide de una celosía , Algebra Universalis 40 , no. 3 (1998), 247–411.
- F. Wehrung, Una propiedad de refinamiento uniforme para celosías de congruencia , Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 127 , no. 2 (1999), 363–370.
- F. Wehrung, Representación de celosías distributivas algebraicas con elementos compactos ℵ 1 como celosías ideales de anillos regulares , Publ. Estera. (Barcelona) 44 (2000), 419–435.
- F. Wehrung, Forzar extensiones de celosías parciales , J. Algebra 262 , no. 1 (2003), 127–193.
- F. Wehrung, Semretices de ideales de anillos de intercambio generados finitamente con rango estable finito , Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 356 , no. 5 (2004), 1957-1970.
- F. Wehrung, Representaciones de Poset de semirretículos distributivos , Internat. J. Álgebra Comput. 18 , no. 2 (marzo de 2008), 321–356.
- F. Wehrung, Una solución al problema de celosía de congruencia de Dilworth , Adv. Matemáticas. 216 , no. 2 (2007), 610–625.