En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (normalmente grande) a partir de muchos objetos (normalmente más pequeños) que se combinan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o en general objetos de cualquier categoría . La forma en que se unen está especificada por un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo o, en general, morfismos en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos, dónde se extiende sobre un conjunto dirigido , se denota por . (Este es un ligero abuso de la notación, ya que suprime el sistema de homomorfismos que es crucial para la estructura del límite).
Los límites directos son un caso especial del concepto de colimit en la teoría de categorías . Los límites directos son límites duales a inversos, que también son un caso especial de límites en la teoría de categorías.
Definicion formal
Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede usar en cualquier categoría .
Límites directos de los objetos algebraicos
En este apartado se entiende que los objetos consisten en conjuntos subyacentes con una estructura algebraica determinada , tales como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc. Teniendo esto en cuenta, los homomorfismos se entienden en el ajuste correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).
Dejar ser un conjunto preordenado que está dirigido y parcialmente ordenado (no todos los autores requierenpara ser dirigido o parcialmente ordenado). Dejarser una familia de objetos indexados por y ser un homomorfismo para todos con las siguientes propiedades:
- es el morfismo de identidad de y
- Condiciones de compatibilidad ( de sistemas directos ): para todos ; es decir,
Entonces la pareja se llama un sistema directo sobre Los mapas se denominan mapas / morfismos de enlace , conexión , transición o enlace del sistema. Si se entienden los mapas de enlace o si no hay necesidad de asignarles símbolos (por ejemplo, como en las declaraciones de algunos teoremas), los mapas de enlace a menudo se omitirán (es decir, no se escribirán); por esta razón, es común ver declaraciones como "dejemosser un sistema directo ". [nota 1]
Se dice que el sistema es inyectivo (resp. Sobreyectivo , etc.) si esto es cierto para todos los mapas de enlace. Sies dirigido (resp. contable ) entonces se dice que el sistema es dirigido (resp. contable ). [1]
Cocones
Si es un objeto y es una colección de morfismos, cada uno de los cuales tiene la forma luego se dice que es compatible o consistente [2] con un sistema directo si para todos los índices la siguiente Se cumple la condición de compatibilidad de los conos :
En este caso la pareja se llama un cocone del sistema directo yse llama su vértice .
Límite directo canónico
La límite directo canónico del sistema directoen la categoría de conjuntos se denota pory se define como sigue. Su conjunto subyacente es la unión disjunta de laes módulo una cierta relación de equivalencia :
Aquí, si y luego si y solo si hay algo con y y tal que La forma más común de definir la unión disjunta es:
donde para cada índice cada elemento se identifica canónicamente con el elemento en esta unión inconexa. Para cada índice denotar la clase de equivalencia que contiene [nota 2] por:
- o
que resulta en el a función canónica :
- definido por
Es este par que forma el límite directo canónico, aunque a menudo sólo el conjunto es mencionado.
Heurísticamente, dos elementos en la unión disjunta son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que resalta la dualidad al límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los mapas del sistema directo; es decir, cuando sea En particular, dado cualquier y cualquier la fibra será un subconjunto de la clase de equivalencia dicho de otra manera, cualquier elemento de es siempre equivalente a
Las operaciones algebraicas en se definen de manera que estos mapas se conviertan en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo consiste en el objeto junto con los homomorfismos canónicos
Límites directos en una categoría arbitraria
El límite directo se puede definir en una categoría arbitraria por medio de una propiedad universal . Dejar ser un sistema directo de objetos y morfismos en (como se define arriba). Un objetivo o cocone es un par dónde es un objeto en y son morfismos para cada tal que cuando sea Un límite directo del sistema directoes un objetivo universalmente repelente en el sentido de que es un objetivo y para cada objetivo hay un morfismo único tal que para cada El siguiente diagrama
luego conmutará para todos los índices
El límite directo a menudo se denota
con el sistema directo y los morfismos canónicos ser entendido.
A diferencia de los objetos algebraicos, no todos los sistemas directos en una categoría arbitraria tienen un límite directo. Sin embargo, si lo hace, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directoexiste un isomorfismo único que conmuta con los morfismos canónicos.
Ejemplos de
- Una colección de subconjuntos de un conjunto se puede ordenar parcialmente por inclusión. Si la recaudación es dirigida, su límite directo es la uniónLo mismo es cierto para una colección dirigida de subgrupos de un grupo dado, o una colección dirigida de subanillos de un anillo dado, etc.
- Dejar ser cualquier conjunto dirigido con un elemento más grande El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo a y el morfismo canónico es un isomorfismo.
- Dejar ser un campo. Para un entero positivoconsidere el grupo lineal general consistente en invertible - matrices con entradas de Tenemos un homomorfismo grupal que amplía las matrices poniendo un en la esquina inferior derecha y ceros en el resto de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de Escrito como Un elemento de puede pensarse como una matriz infinita invertible que difiere de la matriz de identidad infinita en sólo un número finito de entradas. El grupoes de vital importancia en la teoría K algebraica .
- Dejar ser un número primo . Considere el sistema directo compuesto por los grupos de factores y los homomorfismos inducida por multiplicación por El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de la unidad de orden, algún poder dey se llama grupo Prüfer
- Hay un homomorfismo de anillo inyectivo (no obvio) del anillo de polinomios simétricos en variables al anillo de polinomios simétricos en variables. Al formar el límite directo de este sistema directo se obtiene el anillo de funciones simétricas.
- Dejar ser un -gavilla valorada en un espacio topológico Fijar un punto Los barrios abiertos de formar un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( si y solo si contiene ). El sistema directo correspondiente es dónde es el mapa de restricción. El límite directo de este sistema se llama tallo de a denotado Para cada barrio de el morfismo canónico asociados a una sección de encima un elemento del tallo llamado el germen de a
- Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo subyacente de la teoría de conjuntos.
- Un esquema ind es un límite inductivo de esquemas.
Propiedades
Los límites directos están vinculados a los límites inversos mediante
Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto . Esto significa que si comienza con un sistema dirigido de secuencias breves y exactas y forma límites directos, se obtiene una breve secuencia exacta .
Construcciones y generalizaciones relacionadas
Observamos que un sistema directo en una categoría admite una descripción alternativa en términos de functores . Cualquier conjunto dirigidopuede considerarse como una categoría pequeña cuyos objetos son los elementos y hay morfismos si y solo si . Un sistema directo sobrees entonces lo mismo que un funtor covariante . El colimit de este funtor es el mismo que el límite directo del sistema directo original.
Una noción muy relacionada con los límites directos son los colimits filtrados . Aquí comenzamos con un functor covariantede una categoría filtrada a alguna categoría y forman el colimit de este functor. Se puede mostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y solo si tiene todos los colimits filtrados, y un functor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y solo si conmuta con todos los colimits filtrados. [3]
Dada una categoría arbitraria , puede haber sistemas directos en que no tienen un límite directo en (considere, por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos, o la categoría de grupos abelianos generados finitamente). En este caso, siempre podemos incrustar en una categoría en el que existen todos los límites directos; los objetos dese llaman ind-objetos de.
El dual categórico del límite directo se llama límite inverso . Como se indicó anteriormente, los límites inversos pueden verse como límites de ciertos functores y están estrechamente relacionados con los límites de las categorías cofiltradas.
Terminología
En la literatura, se encuentran los términos "límite dirigido", "límite inductivo directo", "colimit dirigido", "colimit directo" y "límite inductivo" para el concepto de límite directo definido anteriormente. Sin embargo, el término "límite inductivo" es ambiguo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colimit.
Ver también
- Límite directo de grupos
- Sistema directo
- Límite inverso : generalización de productos, retrocesos, intersecciones y otras construcciones
Notas
- ^ Bierstedt 1988 , págs. 41-56.
- ^ Mac Lane 1998 , págs. 68-69.
- ↑ Adamek, J .; Rosicky, J. (1994). Categorías accesibles y presentables localmente . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 15. ISBN 9780521422611.
- ^ Esto es abuso de notación y terminología desde que se llama un sistema directo es técnicamente incorrecto.
- ^ Las clases de equivalencia de son subconjuntos de y no de entonces en realidad denota la clase de equivalencia que contiene el elemento Sin embargo aunque técnicamente debe escribirse como esto solo se hará cuando dicha claridad técnica sea importante.
Referencias
- Bierstedt, Klaus-Dieter (1988). Introducción a los límites inductivos localmente convexos . Análisis funcional y aplicaciones . Singapur-Nueva Jersey-Hong Kong: Universitätsbibliothek. págs. 35-133. Señor 0046004 . Consultado el 20 de septiembre de 2020 .
- Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Topología general: Capítulos 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129 .
- Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas. Teoría de conjuntos , traducción del francés, París: Hermann, MR 0237342
- Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas , 5 (2a ed.), Springer-Verlag