En el área matemática de la teoría del orden , existen varias nociones del concepto común de distributividad , aplicado a la formación de suprema e infima . La mayoría de estos se aplican a conjuntos parcialmente ordenados que son al menos retículas , pero el concepto también puede generalizarse razonablemente a semirreticulaciones .
Celosías distributivas
Probablemente el tipo más común de distributividad es el definido para celosías , donde la formación de suprema e infima binarios proporcionan las operaciones totales de unión () y conocer (). La distributividad de estas dos operaciones se expresa exigiendo que la identidad
mantener para todos los elementos x , y y z . Esta ley de distributividad define la clase de retículas distributivas . Tenga en cuenta que este requisito se puede reformular diciendo que los encuentros binarios conservan las uniones binarias. Se sabe que la declaración anterior es equivalente a su orden dual
tal que una de estas propiedades sea suficiente para definir la distributividad de las celosías. Ejemplos típicos de celosía distributiva son conjuntos totalmente ordenados , álgebras de Boole y álgebras de Heyting . Cada red distributiva finita es isomorfa a una red de conjuntos, ordenados por inclusión ( teorema de representación de Birkhoff ).
Distributividad para semirreduras
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/2/23/DistrSemilattice.svg/220px-DistrSemilattice.svg.png)
Una semirrejilla es un conjunto parcialmente ordenado con solo una de las dos operaciones de rejilla, ya sea una semirrejilla de encuentro o de unión . Dado que solo hay una operación binaria, la distributividad obviamente no se puede definir de la manera estándar. Sin embargo, debido a la interacción de la operación única con el orden dado, la siguiente definición de distributividad sigue siendo posible. Una semirrejilla de encuentro es distributiva , si para todo a , b y x :
- Si un ∧ b ≤ x entonces existen un ' y b ' de tal manera que un ≤ un ' , b ≤ b ' y x = un ' ∧ b' .
Distributiva unirse-semiretículo se definen dualmente : a Join-semilattice es distributiva , si por todas a , b , y x :
- Si x ≤ una ∨ b entonces existen un ' y b ' de tal manera que un ' ≤ un , b ' ≤ b y x = un ' ∨ b' .
En cualquier caso, a 'y b' no necesitan ser únicos. Estas definiciones se justifican por el hecho de que dada cualquier celosía L , las siguientes declaraciones son todas equivalentes:
- L es distributiva como una semirrejilla de encuentro
- L es distributiva como un semirretículo de unión
- L es una red distributiva.
Por tanto, cualquier retículo-semirreticulado distributivo en el que existan uniones binarias es un retículo distributivo. Una semirrejilla de unión es distributiva si y solo si la rejilla de sus ideales (bajo inclusión) es distributiva. [1]
Esta definición de distributividad permite generalizar algunos enunciados sobre retículos distributivos a semirreticulos distributivos.
Leyes de distributividad para celosías completas
Para una celosía completa , los subconjuntos arbitrarios tienen tanto infima como suprema y, por lo tanto, están disponibles operaciones infinitas de encuentro y unión. Por tanto, pueden describirse varias nociones ampliadas de distributividad. Por ejemplo, para la ley distributiva infinita , los encuentros finitos pueden distribuirse sobre uniones arbitrarias, es decir
puede ser válido para todos los elementos xy todos los subconjuntos S de la red. Las celosías completas con esta propiedad se denominan marcos , locales o álgebras de Heyting completas . Surgen en conexión con la topología sin sentido y la dualidad de Stone . Esta ley distributiva no es equivalente a su enunciado dual
que define la clase de marcos duales o álgebras co-Heyting completas.
Ahora se puede ir aún más lejos y definir órdenes donde las uniones arbitrarias se distribuyen sobre las reuniones arbitrarias. Estas estructuras se denominan rejillas completamente distributivas . Sin embargo, expresar esto requiere formulaciones un poco más técnicas. Considere una familia doblemente indexada { x j , k | j en J , k en K ( j )} de elementos de una red completa, y sea F el conjunto de funciones de elección f eligiendo para cada índice j de J algún índice f ( j ) en K ( j ). Una celosía completa es completamente distributiva si para todos esos datos se cumple la siguiente declaración:
La distributividad completa es nuevamente una propiedad auto-dual, es decir, la dualización del enunciado anterior produce la misma clase de retículas completas. Las celosías completas completamente distributivas (también llamadas celosías completamente distributivas para abreviar) son de hecho estructuras muy especiales. Consulte el artículo sobre celosías completamente distributivas .
Literatura
La distributividad es un concepto básico que se trata en cualquier libro de texto sobre la teoría de la celosía y el orden. Consulte la literatura proporcionada para los artículos sobre teoría de órdenes y teoría de celosía . La literatura más específica incluye:
- GN Raney, Rejillas completas completamente distributivas , Proceedings of the American Mathematical Society , 3: 677 - 680, 1952.
- ^ G. Grätzer (2011). Teoría de celosía: Fundación . Springer / Birkhäuser.; aquí: Sect. II.5.1, pág.167