Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
En matemáticas , la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer describe el conjunto de soluciones racionales a las ecuaciones que definen una curva elíptica . Es un problema abierto en el campo de la teoría de números y es ampliamente reconocido como uno de los problemas matemáticos más desafiantes. Lleva el nombre de los matemáticos Bryan John Birch y Peter Swinnerton-Dyer , quienes desarrollaron la conjetura durante la primera mitad de la década de 1960 con la ayuda de la computación mecánica. A partir de 2021 [actualizar], solo se han probado casos especiales de la conjetura.
La formulación moderna de la conjetura refiere datos aritméticos asociados con una curva elíptica E sobre un campo de número de K para el comportamiento de la Hasse-Weil L -Función L ( E , S ) de E en s = 1. Más específicamente, se conjetura que el rango del grupo abeliano E ( K ) de puntos de E es el orden del cero de L ( E , s ) en s = 1, y el primer coeficiente distinto de cero en elLa expansión de Taylor de L ( E , s ) en s = 1 viene dada por datos aritméticos más refinados adjuntos a E sobre K ( Wiles 2006 ).
La conjetura fue elegida como uno de los siete Problemas del Premio del Milenio enumerados por el Clay Mathematics Institute , que ha ofrecido un premio de $ 1,000,000 por la primera prueba correcta. [1]
Mordell (1922) demostró el teorema de Mordell : el grupo de puntos racionales en una curva elíptica tiene una base finita . Esto significa que para cualquier curva elíptica hay un subconjunto finito de puntos racionales en la curva, a partir de los cuales se pueden generar todos los puntos racionales adicionales.
Si el número de puntos racionales en una curva es infinito , entonces algún punto en una base finita debe tener un orden infinito . El número de puntos básicos independientes con orden infinito se denomina rango de la curva y es una propiedad invariante importante de una curva elíptica.
Si el rango de una curva elíptica es 0, entonces la curva solo tiene un número finito de puntos racionales. Por otro lado, si el rango de la curva es mayor que 0, entonces la curva tiene un número infinito de puntos racionales.
