Los problemas del Millennium Prize son siete problemas en matemáticas que fueron establecidos por el Clay Mathematics Institute el 24 de mayo de 2000. [1] Los problemas son la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , la conjetura de Hodge , la existencia y suavidad de Navier-Stokes , P versus NP problema , conjetura de Poincaré , hipótesis de Riemann y existencia y brecha de masa de Yang-Mills . Una solución correcta a cualquiera de los problemas da como resultado que el instituto otorgue un premio de 1 millón de dólares estadounidenses a los descubridores.
Hasta la fecha, el único problema del Millennium Prize que se ha resuelto es la conjetura de Poincaré , que fue resuelta en 2003 por el matemático ruso Grigori Perelman . Rechazó el dinero del premio.
Problema resuelto
Conjetura de Poincaré
En la dimensión 2, una esfera se caracteriza por el hecho de que es la única superficie cerrada y simplemente conectada. La conjetura de Poincaré establece que esto también es cierto en la dimensión 3. Es fundamental para el problema más general de clasificar todas las variedades 3 . La formulación precisa de la conjetura dice:
Cada simplemente conectado , cerrado 3-colector es homeomorfo a la 3-esfera .
Una prueba de esta conjetura fue dada por Grigori Perelman en 2003, basado en el trabajo de Richard Hamilton ; su revisión se completó en agosto de 2006, y Perelman fue seleccionado para recibir la Medalla Fields por su solución, pero rechazó el premio. [2] Perelman fue galardonado oficialmente con el Premio del Milenio el 18 de marzo de 2010, [3] pero también rechazó ese premio y el premio en metálico asociado del Clay Mathematics Institute. La agencia de noticias Interfax citó a Perelman diciendo que creía que el premio era injusto, ya que consideraba que su contribución para resolver la conjetura de Poincaré no era mayor que la de Hamilton. [4]
Problemas no resueltos
P frente a NP
La pregunta es si, para todos los problemas para los cuales un algoritmo puede verificar una solución dada rápidamente (es decir, en tiempo polinomial ), un algoritmo también puede encontrar esa solución rápidamente. Dado que el primero describe la clase de problemas denominada NP, mientras que el segundo describe P, la pregunta equivale a preguntar si todos los problemas en NP también están en P. Esta se considera generalmente una de las preguntas abiertas más importantes en matemáticas e informática teórica. ya que tiene consecuencias de largo alcance para otros problemas en matemáticas , y para la biología , la filosofía [5] y la criptografía (ver consecuencias de prueba de problemas P versus NP ). Un ejemplo común de un problema de NP que no se sabe que está en P es el problema de satisfacibilidad booleano .
La mayoría de los matemáticos e informáticos esperan que P ≠ NP; sin embargo, sigue sin probarse. [6]
La declaración oficial del problema fue dada por Stephen Cook .
Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge es que para las variedades algebraicas proyectivas , los ciclos de Hodge son combinaciones lineales racionales de ciclos algebraicos .
A esto le llamamos el grupo de clases de Hodge de grado 2 k en X .
La declaración moderna de la conjetura de Hodge es:
- Sea X una variedad proyectiva compleja no singular. A continuación, todas las clases de Hodge X es una combinación lineal con coeficientes racionales de las clases de cohomología de subvariedades complejas de X .
La declaración oficial del problema corrió a cargo de Pierre Deligne .
Hipótesis de Riemann
La función zeta de Riemann ζ (s) es una función cuyo argumento s puede ser cualquier número complejo distinto de 1, y cuyos valores también son complejos. Tiene ceros en los enteros pares negativos; es decir, ζ (s) = 0 cuando s es uno de −2, −4, −6, .... Estos se denominan ceros triviales. Sin embargo, los enteros pares negativos no son los únicos valores para los que la función zeta es cero. Los otros se llaman ceros no triviales. La hipótesis de Riemann se ocupa de las ubicaciones de estos ceros no triviales y establece que:
- La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2.
La hipótesis de Riemann es que todos no triviales ceros de la continuación analítica de la función zeta de Riemann tienen una parte real de 1 / 2 . Una prueba o refutación de esto tendría implicaciones de gran alcance en la teoría de números , especialmente para la distribución de números primos . Este fue el octavo problema de Hilbert y todavía se considera un problema abierto importante un siglo después.
La declaración oficial del problema la dio Enrico Bombieri .
Existencia de Yang-Mills y brecha de masa
En la teoría cuántica de campos , la brecha de masa es la diferencia de energía entre el vacío y el siguiente estado de energía más bajo . La energía del vacío es cero por definición, y suponiendo que todos los estados de energía se pueden considerar como partículas en ondas planas, la brecha de masa es la masa de la partícula más ligera.
Para un campo real dado , podemos decir que la teoría tiene una brecha de masa si la función de dos puntos tiene la propiedad
con siendo el valor de energía más bajo en el espectro del hamiltoniano y, por lo tanto, la brecha de masa. Esta cantidad, fácil de generalizar a otros campos, es lo que generalmente se mide en cálculos reticulares.
En física, clásica teoría de Yang-Mills es una generalización de la teoría de Maxwell de electromagnetismo donde el chromo sí campo Electromagnética lleva carga. Como teoría de campo clásica, tiene soluciones que viajan a la velocidad de la luz, de modo que su versión cuántica debería describir partículas sin masa ( gluones ). Sin embargo, el fenómeno postulado del confinamiento del color permite solo estados unidos de gluones, formando partículas masivas. Esta es la brecha de masa . Otro aspecto del confinamiento es la libertad asintótica que hace concebible que la teoría cuántica de Yang-Mills exista sin restricción a escalas de baja energía. El problema es establecer rigurosamente la existencia de la teoría cuántica de Yang-Mills y una brecha de masa.
- Demuestre que para cualquier grupo de calibre simple compacto G, existe una teoría cuántica de Yang-Mills no trivial en y tiene una brecha de masa Δ> 0. La existencia incluye el establecimiento de propiedades axiomáticas al menos tan fuertes como las citadas en Streater y Wightman (1964) , Osterwalder y Schrader (1973) y Osterwalder y Schrader (1975) .
Arthur Jaffe y Edward Witten dieron la declaración oficial del problema . [7]
Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos y son uno de los pilares de la mecánica de fluidos . Sin embargo, la comprensión teórica de sus soluciones es incompleta, a pesar de su importancia en ciencia e ingeniería. Para el sistema de ecuaciones tridimensionales, y dadas algunas condiciones iniciales, los matemáticos aún no han demostrado que siempre existan soluciones suaves . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes .
El problema, restringido al caso de un fluido incompresible , es probar que existen soluciones suaves y definidas globalmente que cumplen ciertas condiciones, o que no siempre existen y las ecuaciones se rompen. La declaración oficial del problema fue dada por Charles Fefferman . [8]
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer trata de ciertos tipos de ecuaciones: las que definen curvas elípticas sobre los números racionales . La conjetura es que existe una forma sencilla de saber si tales ecuaciones tienen un número finito o infinito de soluciones racionales. El décimo problema de Hilbert trataba con un tipo de ecuación más general, y en ese caso se demostró que no hay forma de decidir si una ecuación dada tiene alguna solución.
Andrew Wiles dio la declaración oficial del problema . [9]
Ver también
- Conjetura de Beal
- Problemas de Hilbert
- Lista de premios de matemáticas
- Lista de problemas matemáticos sin resolver
- Los problemas de Smale
- Paul Wolfskehl (ofreció un premio en efectivo por la solución al último teorema de Fermat )
Referencias
- ^ Arthur M. Jaffe "El gran desafío del milenio en matemáticas" , " Avisos de la AMS ", junio / julio de 2006, vol. 53, Nr. 6, pág. 652-660
- ^ "El genio de las matemáticas declina el primer premio" . BBC News . 22 de agosto de 2006 . Consultado el 16 de junio de 2011 .
- ^ "Premio a la Resolución de la Conjetura de Poincaré Otorgado al Dr. Grigoriy Perelman" (PDF) (Nota de prensa). Instituto Clay de Matemáticas . 18 de marzo de 2010. Archivado desde el original (PDF) el 31 de marzo de 2010 . Consultado el 18 de marzo de 2010 .
El Clay Mathematics Institute (CMI) anuncia hoy que el Dr. Grigoriy Perelman de San Petersburgo, Rusia, recibió el Premio Millennium por la resolución de la conjetura de Poincaré.
- ^ "Matemático ruso rechaza un premio de un millón - Boston.com" .
- ^ Scott Aaronson (14 de agosto de 2011). "Por qué los filósofos deberían preocuparse por la complejidad computacional" . Reporte técnico.
- ^ William Gasarch (junio de 2002). "La encuesta P =? NP" (PDF) . Noticias SIGACT . 33 (2): 34–47. doi : 10.1145 / 1052796.1052804 . S2CID 18759797 .
- ^ Arthur Jaffe y Edward Witten " Teoría cuántica de Yang-Mills ". Descripción oficial del problema.
- ^ Charles Fefferman . "Existencia y singularidad de la ecuación de Navier-Stokes" (PDF) . Instituto Clay de Matemáticas.
- ^ Wiles, Andrew (2006). " La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer ". En Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew. Los problemas del premio Millennium. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 31–44. ISBN 978-0-8218-3679-8 .
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Fuentes
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1973). "Axiomas para las funciones de Euclidean Green". Comunicaciones en Física Matemática . 31 (2): 83–112. Código Bibliográfico : 1973CMaPh..31 ... 83O . doi : 10.1007 / BF01645738 .
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1975). "Axiomas para funciones de Euclidean Green II". Comunicaciones en Física Matemática . 42 (3): 281-305. Código Bibliográfico : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007 / BF01608978 .
- Streater, R .; Wightman, A. (1964). PCT, Spin y Estadísticas y todo eso . WA Benjamin.
Otras lecturas
- Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew , eds. (2006). Los problemas del premio Millennium . Providence, RI: Sociedad Americana de Matemáticas y Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-3679-8.
- Devlin, Keith J. (2003) [2002]. Los problemas del milenio: los siete mayores acertijos matemáticos sin resolver de nuestro tiempo . Nueva York: Basic Books. ISBN 0-465-01729-0.
enlaces externos
- Los problemas del premio Millennium