Clase de conjugación
En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , dos elementos y de un grupo son conjugados si hay un elemento en el grupo tal que Esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia se denominan clases de conjugación .
Los miembros de la misma clase de conjugación no se pueden distinguir utilizando solo la estructura de grupo y, por lo tanto, comparten muchas propiedades. El estudio de las clases de conjugación de grupos no abelianos es fundamental para el estudio de su estructura. [1] [2] Para un grupo abeliano , cada clase de conjugación es un conjunto que contiene un elemento ( conjunto singleton ).
Que sea un grupo. Dos elementos son conjugados si existe un elemento tal que en cuyo caso se llama conjugado de y se llama conjugado de
En el caso del grupo lineal general de matrices invertibles , la relación de conjugación se denomina semejanza de matrices .
Se puede demostrar fácilmente que la conjugación es una relación de equivalencia y, por lo tanto, se divide en clases de equivalencia. (Esto significa que cada elemento del grupo pertenece precisamente a una clase de conjugación, y las clases y son iguales si y solo si y son conjugadas, y disjuntas en caso contrario). La clase de equivalencia que contiene el elemento es
Se puede hacer referencia a las clases de conjugación describiéndolas, o más brevemente mediante abreviaturas como "6A", que significa "una cierta clase de conjugación de elementos de orden 6", y "6B" sería una clase de conjugación diferente de elementos de orden 6; la clase de conjugación 1A es la clase de conjugación de la identidad. En algunos casos, las clases de conjugación se pueden describir de manera uniforme; por ejemplo, en el grupo simétrico pueden describirse por estructura de ciclo.
