En geometría diferencial , los puntos conjugados o puntos focales [1] son, aproximadamente, puntos que casi pueden unirse mediante una familia de geodésicas de 1 parámetro . Por ejemplo, en una esfera , el polo norte y el polo sur están conectados por cualquier meridiano . Otro punto de vista es que los puntos conjugados indican cuándo las geodésicas no logran minimizar la longitud. Todas las geodésicas minimizan la longitud a nivel local , pero no a nivel mundial. Por ejemplo, en una esfera, cualquier geodésico que pase a través del polo norte puede extenderse para alcanzar el polo sur y, por lo tanto, cualquier segmento geodésico que conecte los polos no es (únicamente) globalmente.minimización de la longitud. Esto nos dice que cualquier par de puntos antípodas en la 2-esfera estándar son puntos conjugados. [2]
Definición
Supongamos que p y q son los puntos de una variedad de Riemann , yes una geodésica que conecta p y q . Entonces p y q son puntos conjugados a lo largosi existe un campo Jacobi distinto de cero a lo largo deque se anula en p y q .
Recuerde que cualquier campo de Jacobi puede escribirse como el derivado de una variación geodésica (consulte el artículo sobre los campos de Jacobi ). Por lo tanto, si p y q son conjugado a lo largo de, Se puede construir una familia de geodésicas que se inician en p y casi terminan en q . En particular, sies la familia de geodésicas cuya derivada en s engenera el campo Jacobi J , luego el punto final de la variación, a saber, es el punto q solo hasta el primer orden en s . Por tanto, si se conjugan dos puntos, no es necesario que existan dos geodésicas distintas uniéndolas.
Ejemplos de
- En la esfera , los puntos antípodas están conjugados.
- En , no hay puntos conjugados.
- En variedades de Riemann con curvatura seccional no positiva , no hay puntos conjugados.