En la geometría de Riemann , un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica. en una variedad de Riemann que describe la diferencia entre la geodésica y una geodésica "infinitesimalmente cercana". En otras palabras, los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica forman el espacio tangente a la geodésica en el espacio de todas las geodésicas. Llevan el nombre de Carl Jacobi .
Definiciones y propiedades
Los campos de Jacobi se pueden obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas uniformes de un parámetro con , luego
es un campo de Jacobi, y describe el comportamiento de las geodésicas en una vecindad infinitesimal de una geodésica dada .
Un campo vectorial J a lo largo de una geodésicase dice que es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi :
donde D denota la derivada covariante con respecto a la conexión Levi-Civita , R el tensor de curvatura de Riemann ,el campo vectorial tangente, yt es el parámetro de la geodésica. En una variedad Riemanniana completa , para cualquier campo de Jacobi hay una familia de geodésicas describiendo el campo (como en el párrafo anterior).
La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden ; en particular, los valores de y en un punto de determinar de forma única el campo de Jacobi. Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica determinada forma un espacio vectorial real de dimensión dos veces mayor que la variedad.
Como ejemplos triviales de los campos de Jacobi se pueden considerar y . Corresponden respectivamente a las siguientes familias de reparametrizaciones: y .
Cualquier campo de Jacobi se puede representar de manera única como una suma , dónde es una combinación lineal de campos triviales de Jacobi y es ortogonal a , para todos . El campo luego corresponde a la misma variación de geodésicas que , solo con parametrizaciones modificadas.
Ejemplo motivador
En una esfera , las geodésicas a través del polo norte son grandes círculos . Considere dos geodésicas de este tipo y con parámetro natural, , separados por un ángulo . La distancia geodésica
es
Calcular esto requiere conocer las geodésicas. La información más interesante es solo que
- , para cualquier .
En cambio, podemos considerar la derivada con respecto a a :
Observe que todavía detectamos la intersección de las geodésicas en. Observe además que para calcular esta derivada en realidad no necesitamos saber
- ,
más bien, todo lo que necesitamos hacer es resolver la ecuación
- ,
para algunos datos iniciales dados.
Los campos de Jacobi dan una generalización natural de este fenómeno a variedades riemannianas arbitrarias .
Resolver la ecuación de Jacobi
Dejar y complete esto para obtener una base ortonormal a . Transporte en paralelo para obtener una base. todo el tiempo . Esto le da una base ortonormal con. El campo de Jacobi se puede escribir en coordenadas en términos de esta base como y por lo tanto
y la ecuación de Jacobi se puede reescribir como un sistema
para cada . De esta forma obtenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO). Dado que esta EDO tiene coeficientes suaves , tenemos que existen soluciones para todos y son únicos, dados y , para todos .
Ejemplos de
Considere una geodésica con marco ortonormal paralelo , , construido como arriba.
- Los campos vectoriales a lo largo dada por y son campos de Jacobi.
- En el espacio euclidiano (así como para espacios de curvatura seccional cero constante ), los campos de Jacobi son simplemente aquellos campos lineales en.
- Para variedades de Riemann de curvatura seccional negativa constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , dónde .
- Para variedades de Riemann de curvatura seccional positiva constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , , y , dónde .
- La restricción de un campo vectorial Killing a una geodésica es un campo de Jacobi en cualquier variedad riemanniana.
Ver también
Referencias
- Manfredo Perdigão do Carmo . Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa de Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv + 300 págs. ISBN 0-8176-3490-8
- Jeff Cheeger y David G. Ebin . Teoremas de comparación en geometría riemanniana. Reimpresión revisada del original de 1975. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x + 168 págs. ISBN 978-0-8218-4417-5
- Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu . Fundamentos de la geometría diferencial. Vol. II. Reimpresión del original de 1969. Biblioteca de clásicos de Wiley. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1996. xvi + 468 págs. ISBN 0-471-15732-5
- Barrett O'Neill . Geometría semi-riemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii + 468 págs. ISBN 0-12-526740-1