Espacio conectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conectado es un espacio topológico que no puede ser representado como la unión de dos o más disjuntos no vacíos subconjuntos abiertos . La conectividad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico X es un conjunto conectado si se trata de un espacio conectado cuando se ve como un subespacio de X .

Algunas condiciones relacionadas, pero más fuertes, están conectadas por caminos , simplemente conectadas y conectadas n . Otra noción relacionada está localmente conectada , lo que no implica ni se sigue de la conexión.

Se dice que un espacio topológico X está desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De lo contrario, se dice que X está conectado . Se dice que un subconjunto de un espacio topológico está conectado si está conectado bajo su topología subespacial. Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como un espacio conectado, pero este artículo no sigue esa práctica.

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de no división de X en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (independientemente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Consulte ^[1] para obtener más detalles.

Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de X : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conectados del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons), que no están abiertos. Prueba: dos números racionales distintos tienen componentes diferentes. Tome un número irracional y luego configure y . Entonces es una separación de , y , . Por tanto, cada componente es un conjunto de un punto. ${\ Displaystyle q_ {1} <q_ {2}}$ ${\ Displaystyle q_ {1} <r <q_ {2}}$ ${\ Displaystyle A = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q <r \}}$ ${\ Displaystyle B = \ {q \ in \ mathbb {Q}: q> r \}}$ ${\ Displaystyle (A, B)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle q_ {1} \ in A}$ ${\ Displaystyle q_ {2} \ in B}$